Đáp án chính thức đề thi môn Toán kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm học 2025-2026 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, công bố ngày 19/1/2026. ...
Đáp án chính thức đề thi môn Toán kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia năm học 2025-2026 của Bộ Giáo dục và Đào tạo, công bố ngày 19/1/2026.
[Download ##download##]
Vì $ P_n(0)=-2^{3n-3}<0 $ và $ \lim_{x\to +\infty}P_n(x)=+\infty $ nên $P_n(x)$ có ít nhất một nghiệm dương $a_n$.
Xét hàm số $ P_n(x)=x^{3n}-3\cdot 4^{n-1}x^n-2^{3n-3} \quad \text{trên } (0;+\infty). $
Ta có đạo hàm $ P_n'(x)=3n x^{3n-1}-3n\cdot 4^{n-1}x^{n-1}, \quad \forall x\in(0;+\infty). $
Giải phương trình $ P_n'(x)=0 \iff x^{2n}=4^{n-1} \iff x=\sqrt[2n]{4^{n-1}}. $
Suy ra $ \begin{cases} P_n'(x)>0, & \forall x\in\left(\sqrt[2n]{4^{n-1}},+\infty\right),\\ P_n'(x)<0, & \forall x\in\left(0,\sqrt[2n]{4^{n-1}}\right). \end{cases} $
Kết hợp với $P_n(0)=-2^{3n-3}<0$, suy ra phương trình $ P_n(x)=0 $ không có quá một nghiệm dương.
Do đó, $P_n(x)$ có đúng một nghiệm dương với mọi $n\ge 1$.
Xem đề và đáp án
Tải file đề và đáp án
Trích dẫn đáp án
Ta có $ P_n(x)=x^{3n}-3\cdot 4^{n-1}x^n-2^{3n-3} $ liên tục trên $\mathbb{R}$.Vì $ P_n(0)=-2^{3n-3}<0 $ và $ \lim_{x\to +\infty}P_n(x)=+\infty $ nên $P_n(x)$ có ít nhất một nghiệm dương $a_n$.
Xét hàm số $ P_n(x)=x^{3n}-3\cdot 4^{n-1}x^n-2^{3n-3} \quad \text{trên } (0;+\infty). $
Ta có đạo hàm $ P_n'(x)=3n x^{3n-1}-3n\cdot 4^{n-1}x^{n-1}, \quad \forall x\in(0;+\infty). $
Giải phương trình $ P_n'(x)=0 \iff x^{2n}=4^{n-1} \iff x=\sqrt[2n]{4^{n-1}}. $
Suy ra $ \begin{cases} P_n'(x)>0, & \forall x\in\left(\sqrt[2n]{4^{n-1}},+\infty\right),\\ P_n'(x)<0, & \forall x\in\left(0,\sqrt[2n]{4^{n-1}}\right). \end{cases} $
Kết hợp với $P_n(0)=-2^{3n-3}<0$, suy ra phương trình $ P_n(x)=0 $ không có quá một nghiệm dương.
Do đó, $P_n(x)$ có đúng một nghiệm dương với mọi $n\ge 1$.
