Bài toán cáp treo Tuyến cáp treo Hội An – Marseille tại Bà Nà Hills (hay còn gọi là tuyến cáp treo số 4) được đưa vào hoạt động năm 2017. Đ...
Bài toán cáp treo
Tuyến cáp treo Hội An – Marseille tại Bà Nà Hills (hay còn gọi là tuyến cáp treo số 4) được đưa vào hoạt động năm 2017. Đây là một trong những hệ thống cáp treo hiện đại bậc nhất thế giới gồm $23$ trụ đỡ và $144$ cabin. Xét trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng $Oxy$ trùng mới mặt đất (đơn vị trên mỗi trục là $1\,m$), một cabin cáp treo xuất phát từ ga Hội An (điểm $A$) có tọa độ $A\left( 20;50;10 \right)$ và di chuyển đều theo một đường thẳng đến ga Marseille (điểm $M$) trên đỉnh Bà Nà, Đà Nẵng. Biết rằng quãng đường cáp treo $AM$ dài khoảng $5\,261\,m$. Lộ trình của cabin cùng phương với vectơ $\vec{u}=(6;3;2)$. Sau $10$ giây kể từ khi xuất phát, cabin đi đến vị trí $B$ cách mặt đất $30\,m$. Hỏi tổng thời gian di chuyển của cabin trên toàn bộ quãng đường $AM$ là bao nhiêu giây (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?
Lời giải
CÁCH 1:
1. Toạ độ điểm $B$
Điểm $B$ có toạ độ $(x_B,y_B,30).$Vec-tơ $\vec{AB}=(x_B-20,y_B-50,20)$ cùng phương với vec-tơ $\vec{u}=(6;3;2)$ nên ta có: $$\frac{x_B-20}{6}=\frac{y_B-50}{3}=\frac{20}{2}.$$ Suy ra $x_B=80,y_B=80.$ Vậy $B(80;80;30).$
2. Tốc độ di chuyển của cabin
$$v=\frac{AB}{10}=\frac{1}{10}\sqrt{60^2+30^2+20^2}=7\ \text{ m/s}.$$3. Thời gian cabin đi từ $A$ đến $M$
Quãng đường: $AM = 5261 \text{ m}$.Thời gian: $t = \dfrac{AM}{v} = \dfrac{5261}{7} \approx 751.57 \text{ s}$.
Làm tròn đến hàng đơn vị: $\boxed{t \approx 752}$ giây.
CÁCH 2:
1. Vectơ vận tốc
Cabin chuyển động thẳng đều vectơ vận tốc $\vec v = k\vec u = (6k;3k;2k)$.Độ tăng độ cao: $\Delta z = z_B - z_A = 30 - 10 = 20$.
Vận tốc theo phương $(Oz)$: $v_z = \dfrac{\Delta z}{\Delta t} = \dfrac{20}{10} = 2$.
Mà: $v_z = 2k \Rightarrow 2k = 2 \Rightarrow k = 1$.
Suy ra: $\vec v = (6;3;2)$.
2. Tốc độ của cabin
$|\vec v| = \sqrt{6^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 9 + 4}$ $ = \sqrt{49} = 7 \text{ (m/s)}$.3. Thời gian đi hết quãng đường
Quãng đường: $AM = 5261 \text{ m}$.Thời gian: $t = \dfrac{AM}{|\vec v|} = \dfrac{5261}{7} \approx 751.57 \text{ s}$.
Làm tròn đến hàng đơn vị: $\boxed{t \approx 752}$ giây.
