Đề bài toán (Câu 2 VMO 2026) (Nguồn: Câu 2 - Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm học 2025/26 ) Để khám phá không gian, các nhà...
Đề bài toán (Câu 2 VMO 2026)
(Nguồn: Câu 2 - Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm học 2025/26)Để khám phá không gian, các nhà khoa học thường phải quan sát những vật thể xa xôi như sao chổi, tiểu hành tinh và các hiện tượng thiên văn khác. Nhằm mục đích đó, các nhà khoa học thiết kế và phóng các vệ tinh quan sát lên quỹ đạo quanh Trái Đất. Hầu hết các vệ tinh không chuyển động theo vòng tròn hoàn hảo mà có quỹ đạo là một đường elip, với Trái Đất nằm ở một trong hai tiêu điểm của elip.
Khi một vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo elip, khoảng cách giữa nó và vật thể cần quan sát liên tục thay đổi. Thông thường, nếu khoảng cách từ vệ tinh đến vật thể cần quan sát là ngắn nhất thì các thiết bị cảm biến trên vệ tinh sẽ nhận được tín hiệu tốt nhất.
Cho một vệ tinh (được xem như là một chất điểm) chuyển động xung quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip. Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đều bằng $6400 \ \text{km}$), giả sử vệ tinh chuyển động trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ theo quỹ đạo có phương trình $x^2+3y^2=17$.
Vệ tinh cần quan sát một vật thể (cũng được xem như là một chất điểm) chuyển động trong không gian. Theo các kết quả nghiên cứu, khi vật thể chuyển động đến vị trí $A(2;\frac{16}{\sqrt{3}};8)$ thì việc quan sát vật thể đó là tốt nhất.
Hãy xác định tọa độ điểm $C$ (trên quỹ đạo elip của vệ tinh) trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ nói trên sao cho khoảng cách từ vị trí $C$ đến vị trí $A$ là ngắn nhất.
Lời giải 1 (Đáp án chính thức của Bộ GD)
Ta có $B\left(2;\ \frac{16}{\sqrt{3}};\ 0\right).$
Vị trí $C$ trên quỹ đạo của vệ tinh để quan sát vật thể tại vị trí $A$ rõ nhất khi $AC$ ngắn nhất. Mà $AC$ ngắn nhất khi $BC$ ngắn nhất.
Bài toán trở thành: Tìm vị trí điểm $C$ trên elip $(E):\ x^2+3y^2=17$ sao cho $BC$ ngắn nhất.
Gọi tọa độ điểm $C$ là $C(x;y;0)$. Khi đó $$BC^2=(x-2)^2+\left(y-\frac{16}{\sqrt{3}}\right)^2.$$
Khai triển: $$BC^2=x^2+y^2-4x-\frac{32}{\sqrt{3}}y+\frac{268}{3}.$$
Ta có bất đẳng thức $4x=2\cdot x\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\le 2x^2+2$, dấu “$=$” xảy ra khi $x=1$.
Và $ \frac{32}{\sqrt{3}}y=2\cdot 2y\cdot\frac{8}{\sqrt{3}}\le 4y^2+\frac{64}{3}, $ dấu “$=$” xảy ra khi $y=\frac{4}{\sqrt{3}}$.
Suy ra $$ \begin{aligned} BC^2 &=x^2+y^2-4x-\frac{32}{\sqrt{3}}y+\frac{268}{3} \\ &\ge -(x^2+3y^2)+66. \end{aligned} $$ Vì $x^2+3y^2=17$ nên $ BC^2\ge 66-17=49. $
Dấu đẳng thức xảy ra khi $ x=1, \ y=\frac{4}{\sqrt{3}}. $
Vậy tại điểm $ C\left(1;\ \frac{4}{\sqrt{3}};\ 0\right) $ thì $AC$ ngắn nhất.
Lời giải 2
Gọi tọa độ điểm $C$ là $C(x;y;0)$. Khi đó $$AC^2 = ({{x}} - 2)^2 + \left( {{y}} - \frac{16}{\sqrt{3}} \right)^2 + 64.$$ Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của ${P = (x - 2)^2 + \left( y - \frac{16}{\sqrt{3}} \right)^2}$ với ${x^2 + 3~y^2 = 17.}$Ta có: ${x = \pm \sqrt{17 - 3~y^2}}$ với ${\frac{-\sqrt{17}}{3} \le y \le \frac{\sqrt{17}}{3}.}$
$\diamond$ Trường hợp 1: $x = \sqrt{17 - 3~y^2}$
Khi đó ${P= f(y) = \left( \sqrt{17 - 3~y^2} - 2 \right)^2 + \left( y - \frac{16}{\sqrt{3}} \right)^2}$.Ta có ${f'(y) = \frac{12~y}{\sqrt{17 - 3~y^2}} - 4~y - \frac{32}{\sqrt{3}}.}$
Ta có: ${f'(y) = 0}$ ${\Leftrightarrow \left( y - \frac{4}{\sqrt{3}} \right) \left( \frac{3}{\sqrt{17 - 3~y^2}} - 1 \right) = 0}$
$\Leftrightarrow y = \frac{4}{\sqrt{3}} \vee y = \pm \frac{\sqrt{24}}{3}$ (loại)
Từ đây ta được $\min {f(y) = 49}$ đạt được khi ${y = \frac{4}{\sqrt{3}}.}$
$\diamond$ Trường hợp 2: $x = -\sqrt{17 - 3~y^2}$
Khi đó ${P= g(y) = \left( \sqrt{17 - 3~y^2} + 2 \right)^2 + \left( y - \frac{16}{\sqrt{3}} \right)^2}$Ta có: ${g'(y) = -\frac{12~y}{\sqrt{17 - 3~y^2}} - 4~y - \frac{32}{\sqrt{3}} < 0}$ dẫn đến ${g(y)}$ nghịch biến trên đoạn $\left[\frac{-\sqrt{17}}{3} ;\frac{\sqrt{17}}{3}\right]$
Vậy ${\min g(y) = 95 - \frac{32\sqrt{17}}{3}}$ đạt được khi ${y = \frac{\sqrt{17}}{3}.}$
Kết hợp các trường hợp ta thu được giá trị nhỏ nhất của ${AC}$ là ${\sqrt{49 + 64} = \sqrt{113}}$ đạt được khi tọa độ điểm ${C}$ là: ${C\left( 1;\frac{4}{\sqrt{3}};0 \right).}$
