Đề bài toán (Nguồn: Câu 2 - Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm học 2025/26 ) Để khám phá không gian, các nhà khoa học thường ...
Đề bài toán
(Nguồn: Câu 2 - Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán năm học 2025/26)Để khám phá không gian, các nhà khoa học thường phải quan sát những vật thể xa xôi như sao chổi, tiểu hành tinh và các hiện tượng thiên văn khác. Nhằm mục đích đó, các nhà khoa học thiết kế và phóng các vệ tinh quan sát lên quỹ đạo quanh Trái Đất. Hầu hết các vệ tinh không chuyển động theo vòng tròn hoàn hảo mà có quỹ đạo là một đường elip, với Trái Đất nằm ở một trong hai tiêu điểm của elip.
Khi một vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo elip, khoảng cách giữa nó và vật thể cần quan sát liên tục thay đổi. Thông thường, nếu khoảng cách từ vệ tinh đến vật thể cần quan sát là ngắn nhất thì các thiết bị cảm biến trên vệ tinh sẽ nhận được tín hiệu tốt nhất.
Cho một vệ tinh (được xem như là một chất điểm) chuyển động xung quanh Trái Đất theo quỹ đạo là một đường elip. Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục $Ox$, $Oy$, $Oz$ đều bằng $6400 \ \text{km}$), giả sử vệ tinh chuyển động trên mặt phẳng tọa độ $(Oxy)$ theo quỹ đạo có phương trình $x^2+3y^2=17$.
Vệ tinh cần quan sát một vật thể (cũng được xem như là một chất điểm) chuyển động trong không gian. Theo các kết quả nghiên cứu, khi vật thể chuyển động đến vị trí $A(2;\frac{16}{\sqrt{3}};8)$ thì việc quan sát vật thể đó là tốt nhất.
Hãy xác định tọa độ điểm $C$ (trên quỹ đạo elip của vệ tinh) trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$ nói trên sao cho khoảng cách từ vị trí $C$ đến vị trí $A$ là ngắn nhất.
Lời giải 1
Gọi ${A'\left( 2;\frac{16}{\sqrt{3}};0 \right)}$ là hình chiếu của ${A}$ trên mặt phẳng ${(Oxy).}$ Khi đó ${AC}$ nhỏ nhất khi và chỉ khi ${A'C}$ nhỏ nhất.Xét riêng mặt phẳng ${(Oxy)}$ với ${C({{x}_{0}};{{y}_{0}})}$ nằm trên elip ${(E) : x^2 + 3~y^2 = 17}$ và ${A'\left( 2;\frac{16}{\sqrt{3}} \right).}$
Ta cần tìm vị trí của ${C}$ trên elip sao cho ${CA'}$ nhỏ nhất.
Ta thấy ${A'C}$ nhỏ nhất khi ${A'C}$ vuông góc với tiếp tuyến tại ${C}$ của elip hay $\overrightarrow{A'C}$ cùng phương với vector pháp tuyến của tiếp tuyến tại ${C}$ của ${(E).}$
Tiếp tuyến tại ${C}$ của ${(E)}$ có phương trình $y = y'({{x}_{0}})(x - {{x}_{0}}) + {{y}_{0}}$ $ \Rightarrow y = \frac{-{{x}_{0}}}{3{{y}_{0}}}(x - {{x}_{0}}) + {{y}_{0}}$ $ \Rightarrow {{x}_{0}} \cdot x + 3{{y}_{0}} \cdot y - ({{x}_{0}}^2 + 3{{y}_{0}}^2) = 0.$
Từ đó ta có vector pháp tuyến của tiếp tuyến tại ${C}$ của ${(E)}$ là ${\overrightarrow{n} = ({{x}_{0}};3{{y}_{0}}).}$
Lại có ${\overrightarrow{A'C} = \left( {{x}_{0}} - 2;{{y}_{0}} - \frac{16}{\sqrt{3}} \right).}$ Để hai vector này cùng phương thì tồn tại ${k}$ sao cho ${\overrightarrow{A'C} = k \cdot \overrightarrow{n}.}$
Hay ta có ${\begin{cases} {{x}_{0}} - 2 = k \cdot {{x}_{0}} \\ {{y}_{0}} - \frac{16}{\sqrt{3}} = k \cdot 3{{y}_{0}} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} {{x}_{0}} = \frac{2}{1-k} \\ {{y}_{0}} = \frac{16}{\sqrt{3}(1-3~k)} \end{cases}.}$
Thay vào ta có $\left( \frac{2}{1-k} \right)^2 + 3\left( \frac{16}{\sqrt{3}(1-3~k)} \right)^2 = 17$ $ \Rightarrow \frac{4}{(1-k)^2} + \frac{256}{(1-3~k)^2} = 17.$
Đặt ${a = 1 - k.}$ Ta thấy ${a > 0}$ vì nếu ${a < 0}$ thì ${{x}_{0}} < 0, {{y}_{0}} < 0$ vô lý do ${A'C}$ chỉ đạt giá trị nhỏ nhất khi ${C}$ nằm trong các góc phần tư thứ 1 và 2.
Quy đồng ta được phương trình ${(a - 2)(153~a^3 + 102~a^2 - 20~a + 8) = 0.}$
Xét $f(a) = 153~a^3 + 102~a^2 - 20~a + 8$ $ = 153~a^3 + (102~a^2 - 20~a + 8) > 0$ do ${a > 0.}$
Nên ta có ${a = 2 \Rightarrow k = -1 \Rightarrow C\left( 1;\frac{4}{\sqrt{3}};0 \right)}$ thỏa mãn đề bài.
Lời giải 2
Do ${C \in (Oxy)} \Rightarrow C({{x}_{C}};{{y}_{C}};0)$ $\Rightarrow AC^2 = ({{x}_{C}} - 2)^2 + \left( {{y}_{C}} - \frac{16}{\sqrt{3}} \right)^2 + (8 - 0)^2$ $ = ({{x}_{C}} - 2)^2 + \left( {{y}_{C}} - \frac{16}{\sqrt{3}} \right)^2 + 64.$Ta tìm giá trị nhỏ nhất của ${P = \left( x - 2 \right)^2 + \left( y - \frac{16}{\sqrt{3}} \right)^2}$ với ${x^2 + 3~y^2 = 17}$ bằng cách sử dụng phương pháp cân bằng hệ số như sau:
${P = x^2 - 4~x + 4 + y^2 - \frac{32}{\sqrt{3}}y + \frac{256}{3}.}$
Ta mong muốn sử dụng ${2~x \le \frac{x^2 + a^2}{a} \Rightarrow 4~x \le \frac{2~x^2 + 2~a^2}{a}}$ và ${2~y \le \frac{y^2 + b^2}{b} \Rightarrow \frac{32}{\sqrt{3}}y \le \frac{16~y^2 + 16~b^2}{b\sqrt{3}}.}$
Chọn ${a, b}$ sao cho ${1 - \frac{2}{a} = -1}$ và ${1 - \frac{16}{\sqrt{3}b} = -3}$ để hệ số của ${x^2}$ và ${y^2}$ là ${-1, -3}$ vì ${1 - \frac{2}{a} \neq 1.}$ Từ đó ta tìm được ${a = 1}$ và ${b = \frac{4}{\sqrt{3}}.}$ Vậy $C\left( 1;\frac{4}{\sqrt{3}};0 \right).$
Lời giải 3
Ta có $AC^2 = ({{x}_{C}} - 2)^2 + \left( {{y}_{C}} - \frac{16}{\sqrt{3}} \right)^2 + 64.$Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của ${P = (x - 2)^2 + \left( y - \frac{16}{\sqrt{3}} \right)^2}$ với ${x^2 + 3~y^2 = 17.}$
Ta có: ${x = \pm \sqrt{17 - 3~y^2}}$ với ${\frac{-\sqrt{17}}{3} \le y \le \frac{\sqrt{17}}{3}.}$
$\diamond$ Trường hợp 1: $x = \sqrt{17 - 3~y^2}$
Ta cần tìm ${\min f(y) = \left( \sqrt{17 - 3~y^2} - 2 \right)^2 + \left( y - \frac{16}{\sqrt{3}} \right)^2}$.Ta có ${f'(y) = \frac{12~y}{\sqrt{17 - 3~y^2}} - 4~y - \frac{32}{\sqrt{3}}.}$
Ta có: ${f'(y) = 0}$ ${\Leftrightarrow \left( y - \frac{4}{\sqrt{3}} \right) \left( \frac{3}{\sqrt{17 - 3~y^2}} - 1 \right) = 0}$
$\Leftrightarrow y = \frac{4}{\sqrt{3}} \vee y = \pm \frac{\sqrt{24}}{3}$ (loại)
Từ đây ta thu được giá trị nhỏ nhất của ${f(y) = 49}$ đạt được khi ${y = \frac{4}{\sqrt{3}}.}$
$\diamond$ Trường hợp 2: $x = -\sqrt{17 - 3~y^2}$
Ta cần tìm ${\min g(y) = \left( \sqrt{17 - 3~y^2} + 2 \right)^2 + \left( y - \frac{16}{\sqrt{3}} \right)^2}$Ta có: ${g'(y) = -\frac{12~y}{\sqrt{17 - 3~y^2}} - 4~y - \frac{32}{\sqrt{3}} < 0}$ dẫn đến ${g(y)}$ nghịch biến trên đoạn $[\frac{-\sqrt{17}}{3} ;\frac{\sqrt{17}}{3}]$
Vậy ${\min g(y) = 95 - \frac{32\sqrt{17}}{3}}$ đạt được khi ${y = \frac{\sqrt{17}}{3}.}$
Kết hợp các trường hợp ta thu được giá trị nhỏ nhất của ${AC}$ là ${\sqrt{49 + 64} = \sqrt{113}}$ đạt được khi tọa độ điểm ${C}$ là: ${C\left( 1;\frac{4}{\sqrt{3}};0 \right).}$
