Số đo góc nhị diện Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \[ SA \perp (ABCD), \] đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \[ AC=a,\quad SA=\dfrac12 a. \...
Số đo góc nhị diện
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \[ SA \perp (ABCD), \] đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \[ AC=a,\quad SA=\dfrac12 a. \] Gọi \(O\) là giao điểm hai đường chéo của hình thoi \(ABCD\), \(H\) là hình chiếu của \(O\) trên \(SC\).
a) Tính số đo các góc nhị diện \[ [B,SA,D],\quad [S,BD,A],\quad [S,BD,C]. \]
b) Chứng minh rằng \(\widehat{BHD}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \([B,SC,D]\).
Lời giải chi tiết
a)
Vì \[ SA \perp (ABCD) \] nên \[ AB \perp SA,\quad AD \perp SA. \] Do đó \(\widehat{BAD}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \([B,SA,D]\).
Hình thoi \(ABCD\) có \[ AB=BC=CD=DA=a,\quad AC=a. \] Suy ra các tam giác \(ABC\), \(ACD\) đều.
Do đó \[ \widehat{BAD}=120^\circ. \] Vậy \[ [B,SA,D]=120^\circ. \]
Vì \[ BD \perp AC,\quad BD \perp SA \] nên \[ BD \perp (SAC). \] Suy ra \[ AC \perp BD,\quad SO \perp BD. \]
Do đó \[ \widehat{AOS} \] là góc phẳng của góc nhị diện \([S,BD,A]\), \[ \widehat{COS} \] là góc phẳng của góc nhị diện \([S,BD,C]\).
Xét tam giác \(SAO\): \[ SA \perp AO, \] và \[ SA=\dfrac12 a,\quad AO=\dfrac12 AC=\dfrac12 a. \] Suy ra tam giác \(SAO\) vuông cân tại \(A\).
Do đó \[ \widehat{AOS}=45^\circ. \] Suy ra \[ \widehat{COS}=180^\circ-45^\circ=135^\circ. \]
Vậy \[ [S,BD,A]=45^\circ,\quad [S,BD,C]=135^\circ. \]
b)
Theo trên ta có \[ BD \perp (SAC) \] nên \[ BD \perp SC. \]
Mặt khác \[ OH \perp SC. \] Suy ra \[ SC \perp (BOD). \]
Do đó \(\widehat{BHD}\) là một góc phẳng của góc nhị diện \([B,SC,D]\).
