Bài toán (đếm số đa giác đều) Xét một đa giác đều có $60$ đỉnh. Có bao nhiêu đa giác đều có các đỉnh là một trong các đỉnh của đa giác đề...
Bài toán (đếm số đa giác đều)
Xét một đa giác đều có $60$ đỉnh. Có bao nhiêu đa giác đều có các đỉnh là một trong các đỉnh của đa giác đều đã cho?Lời giải
Xét một đa giác (lồi) đều có $60$ đỉnh.Giả sử đa giác đều cần tìm có $m$ đỉnh $(m \ge 3)$. Khi đó, các đỉnh của đa giác này phải là những đỉnh cách đều nhau của đa giác $60$ đỉnh đã cho. Do đó, $m$ phải là ước của $60$.
Với mỗi $m$ là ước của $60$ và $m \ge 3$, ta có thể lập được các đa giác đều $m$ đỉnh như sau: chọn một đỉnh bất kỳ của đa giác $60$ đỉnh làm đỉnh đầu tiên, rồi lần lượt lấy các đỉnh cách nhau $\dfrac{60}{m}$ đỉnh.
Có $60$ cách chọn đỉnh đầu tiên, nhưng mỗi đa giác đều $m$ đỉnh bị đếm lặp $m$ lần (do các phép quay, vì mỗi đa giác đều $m$ đỉnh có $m$ cách chọn đỉnh đầu tiên khác nhau nhưng đều cho cùng một đa giác). Vì vậy, số đa giác đều $m$ đỉnh là \[ \frac{60}{m}. \] Các ước của $60$ lớn hơn hoặc bằng $3$ là \[ 3,4,5,6,10,12,15,20,30,60. \] Do đó, tổng số đa giác đều cần tìm là
\[
\frac{60}{3}+\frac{60}{4}+\frac{60}{5}+\frac{60}{6}
+\frac{60}{10}+\frac{60}{12}
+\frac{60}{15}+\frac{60}{20}
+\frac{60}{30}+\frac{60}{60}
=78.
\]
