Trong mặt phẳng $Oxy$ Ví dụ 1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho ba điểm \[ A(2;1),\quad B(5;5),\quad C(7;13). \] Hãy lập phương trình đường phâ...
Trong mặt phẳng $Oxy$
Ví dụ 1. Trong mặt phẳng $Oxy$, cho ba điểm \[ A(2;1),\quad B(5;5),\quad C(7;13). \] Hãy lập phương trình đường phân giác trong của góc \(A\) trong tam giác \(ABC\).
Lời giải 1.
Ta có: \[ \vec{AB}=(5-2;\;5-1)=(3;4) \] \[ \vec{AC}=(7-2;\;13-1)=(5;12) \] Độ dài: \[ |\vec{AB}|=5,\quad |\vec{AC}|=13 \] Chuẩn hoá (đưa về vectơ có độ dài bằng $1$ và cùng hướng với vectơ đã cho): \[ \frac{\vec{AB}}{5}=\left(\frac35;\frac45\right) \] \[ \frac{\vec{AC}}{13}=\left(\frac5{13};\frac{12}{13}\right) \] Vectơ chỉ phương của đường phân giác trong của góc \(A\): \[ \vec{u}=\frac{\vec{AB}}{5}+\frac{\vec{AC}}{13} = \left(\frac{64}{65};\frac{112}{65}\right) \]
Ví dụ 2. Trong mặt phẳng $Oxy$, lập phương trình đường phân giác trong của góc \(A\) trong tam giác \(ABC\) biết: \[ A(2;0),\quad B(4;1),\quad C(1;2). \]
Lời giải 2.
Ta có: \[ \vec{AB}=(4-2;\;1-0)=(2;1) \] \[ \vec{AC}=(1-2;\;2-0)=(-1;2) \] Độ dài: \[ |\vec{AB}|=\sqrt5,\quad |\vec{AC}|=\sqrt5 \] Chuẩn hoá: \[ \frac{\vec{AB}}{\sqrt5}=\left(\frac{2}{\sqrt5};\frac{1}{\sqrt5}\right) \] \[ \frac{\vec{AC}}{\sqrt5}=\left(\frac{-1}{\sqrt5};\frac{2}{\sqrt5}\right) \] Vectơ chỉ phương phân giác trong: \[ \vec{u} = \frac{\vec{AB}}{\sqrt5} + \frac{\vec{AC}}{\sqrt5} = \left(\frac{1}{\sqrt5};\frac{3}{\sqrt5}\right) \] Lấy vectơ chỉ phương: \[ \vec{u_c}=(1;3) \] Phương trình đường phân giác qua \(A(2;0)\): \[ \begin{cases} x=2+t\\ y=3t \end{cases} \quad (t\in\mathbb{R}) \] Khử tham số: \[ t=x-2 \] \[ y=3(x-2) \] Suy ra: \[ 3x-y-6=0 \] Vậy phương trình đường phân giác trong của góc \(A\) là: \[ \boxed{3x-y-6=0}. \]Trong không gian $Oxyz$
Ví dụ 3. Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình đường phân giác trong của góc \(A\) trong tam giác \(ABC\) biết: \[ A(1;1;1),\quad B(4;5;1),\quad C(6;13;1). \]
Lời giải 3.
Ta có: \[ \vec{AB}=(4-1;\;5-1;\;1-1)=(3;4;0) \] \[ \vec{AC}=(6-1;\;13-1;\;1-1)=(5;12;0) \] Độ dài: \[ |\vec{AB}|=5,\quad |\vec{AC}|=13 \] Chuẩn hoá: \[ \frac{\vec{AB}}{5}=\left(\frac35;\frac45;0\right) \] \[ \frac{\vec{AC}}{13}=\left(\frac5{13};\frac{12}{13};0\right) \] Vectơ chỉ phương của đường phân giác trong: \[ \vec{u} = \left(\frac{64}{65};\frac{112}{65};0\right) \] Nhân \(65\) rồi chia cho $16$, lấy vectơ chỉ phương: \[ \vec{u_c}=(4;7;0) \] Vậy phương trình đường phân giác trong đi qua \(A(1;1;1)\) là: \[ \begin{cases} x=1+4t\\ y=1+7t\\ z=1 \end{cases} \quad (t\in\mathbb{R}). \]Ví dụ 4. Trong không gian \(Oxyz\), viết phương trình đường phân giác trong của góc \(A\) trong tam giác \(ABC\) biết: \[ A(1;2;3),\quad B(4;6;15),\quad C(5;14;6). \]
Lời giải 4.
Ta có: \[ \vec{AB}=(4-1;\;6-2;\;15-3)=(3;4;12) \] \[ \vec{AC}=(5-1;\;14-2;\;6-3)=(4;12;3) \] Độ dài: \[ |\vec{AB}|=13,\quad |\vec{AC}|=13 \] Chuẩn hoá: \[ \frac{\vec{AB}}{13}=\left(\frac3{13};\frac4{13};\frac{12}{13}\right) \] \[ \frac{\vec{AC}}{13}=\left(\frac4{13};\frac{12}{13};\frac3{13}\right) \] Vectơ chỉ phương phân giác trong: \[ \vec{u} = \left( \frac7{13};\frac{16}{13};\frac{15}{13} \right) \] Lấy vectơ chỉ phương: \[ \vec{u_c}=(7;16;15) \] Vậy phương trình đường phân giác trong của góc $A$ là: \[ \begin{cases} x=1+7t\\ y=2+16t\\ z=3+15t \end{cases} \quad (t\in\mathbb{R}). \] Lưu ý: Trong ví dụ 2 và ví dụ 4, nếu để ý tam giác $ABC$ cân tại $A$ thì có thể cộng trực tiếp $\vec{u_c}=\vec{AB}+\vec{AC}$ mà không cần chuẩn hoá.
