So sánh trung bình rời rạc (thống kê) và trung bình liên tục (tích phân)

Trong chương trình toán học phổ thông, học sinh thường quen với cách tính giá trị trung bình bằng công thức tính số trung bình trong thống k...

Trong chương trình toán học phổ thông, học sinh thường quen với cách tính giá trị trung bình bằng công thức tính số trung bình trong thống kê (rời rạc). Tuy nhiên, khi đại lượng biến thiên liên tục theo thời gian, cách làm này chỉ cho kết quả xấp xỉ. Khi đó, khái niệm giá trị trung bình liên tục thông qua tích phân mới phản ánh đúng bản chất của quá trình biến đổi và cho kết quả chính xác hơn. Bài toán nhiệt độ trong ngày dưới đây sẽ giúp làm rõ sự khác nhau giữa hai cách tiếp cận này.

Bài toán

Một ngày hè, nhiệt độ không khí (đơn vị: ${}^\circ C$) theo thời gian $t$ (giờ) được mô hình hoá bởi hàm: \[ T(t)=-0,15(t-13)^2+34,\quad 6\le t\le 18. \] a) Tính nhiệt độ tại các thời điểm:
(1) Bảng 1. $t=6,8,10,12,14,16,18$.
(2) Bảng 2. $t=6,7,8,9,\cdots,17,18$.
b) Tính nhiệt độ trung bình trong khoảng từ $6$ giờ đến $18$ giờ theo hai cách:
(1) Lấy trung bình các giá trị trong các bảng ở câu a).
(2) Dùng công thức trung bình của hàm số liên tục bằng tích phân \[ T_{tb}=\frac1{18-6}\int_6^{18}T(t)\,dt. \]

Lời giải

a) Lập bảng giá trị

a.1) Khoảng cách 2h

\[ \begin{array}{l} T(6)&=-0,15\cdot49+34=26,65,\\ T(8)&=-0,15\cdot25+34=30,25,\\ T(10)&=-0,15\cdot9+34=32,65,\\ T(12)&=-0,15\cdot1+34=33,85,\\ T(14)&=-0,15\cdot1+34=33,85,\\ T(16)&=-0,15\cdot9+34=32,65,\\ T(18)&=-0,15\cdot25+34=30,25. \end{array} \]

a.2) Khoảng cách 1h ("mịn" hơn)

\[ \begin{array}{c|ccccccccccccc} t &6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18\\ \hline T(t)& 26,65&28,60&30,25&31,60&32,65&33,40&33,85&34,00&33,85&33,40&32,65&31,60&30,25 \end{array} \]

b.1) Nhiệt độ trung bình theo giá trị các bảng ở câu a)

Bảng 1. Nhiệt độ trung bình

\[ \overline T_1=\frac{26,65+30,25+32,65+33,85+33,85+32,65+30,25}{7} \approx31,74^\circ C. \]

Bảng 2. Nhiệt độ trung bình là

\[ \overline T_2= \frac{26,65+28,60+30,25+31,60+32,65+33,40+33,85+34 +33,85+33,40+32,65+31,60+30,25}{13} \approx31,75^\circ C. \]

b.2) Tính trung bình bằng tích phân (siêu "mịn")

\[ T_{tb}=\frac1{18-6}\int_6^{18}\big[-0,15(t-13)^2+34\big]dt \] \[ =\frac1{12}\Big(-0,05(t-13)^3+34t\Big)\Bigg|_6^{18} =32,05^\circ C. \]

Kết luận

\[ \overline T_1\approx31,74^\circ C,\quad \overline T_2 \approx31,75^\circ C, \quad T_{tb}=32,05^\circ C. \] Cách tính bằng tích phân cho ta kết quả chính xác hơn nhiệt độ trung bình trong ngày.