Đề bài Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi $$v(t)=...
Đề bài
Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi $$v(t)=5+3t\ \text{(m/s)}$$ với $t$ là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà.Sau $30$ giây thì máy bay cất cánh rời đường băng.
Quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?
Lời giải
Ta cần tìm quãng đường $S(t)$ mà máy bay di chuyển được sau $t$ giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà. Từ ý nghĩa cơ học của đạo hàm, ta biết rằng $$S'(t)=v(t).$$ Như vậy, ta cần tìm một hàm số có đạo hàm bằng hàm số $v(t)$ đã cho.Gọi $S(t)$ $(0 \le t \le 30)$ là quãng đường máy bay di chuyển được sau $t$ giây kể từ lúc bắt đầu chạy đà.
Ta có $$v(t)=S'(t).$$
Do đó, $S(t)$ là một nguyên hàm của hàm số vận tốc $v(t)$. Sử dụng tính chất của nguyên hàm ta được: $$ S(t)=\int v(t)\,dt=\int(5+3t)\,dt$$ $$=5\int dt+3\int t\,dt =5t+\frac{3}{2}t^2+C. $$ Theo giả thiết, $S(0)=0$ nên $C=0$, và ta được: $$ S(t)=\frac{3}{2}t^2+5t \quad (\text{m}). $$ Máy bay rời đường băng khi $t=30$ (giây), nên: $$ S=S(30)=\frac{3}{2}\cdot30^2+5\cdot30=1500\ \text{(m)}. $$ Vậy quãng đường máy bay đã di chuyển từ khi bắt đầu chạy đà đến khi nó rời đường băng là: $ S=\boxed{1500}\ \text{m}. $
