Cách tính thể tích khối nón và thể tích khối nón cụt bằng tích phân. Bài toán (Vận dụng 3 SGK Toán 12 tập 2, trang 25) a) Tính thể tích c...
Cách tính thể tích khối nón và thể tích khối nón cụt bằng tích phân.
a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông $OABC$ trong mặt phẳng $Oxy$ với $OA = h$, $AB = R$ và $OC = r$, quanh trục $Ox$ (khối nón cụt).
b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng $R$ và chiều cao $h$.
Phương trình đường thẳng $CB$ đi qua $C(0,r)$ và $B(h,R)$ là
\[
y = r + \frac{R-r}{h}x.
\]
Khi quay quanh trục $Ox$, thể tích khối tròn xoay là
\[
V = \pi \int_0^h y^2\,dx
= \pi \int_0^h \left(r + \frac{R-r}{h}x\right)^2 dx.
\]
Khai triển:
\[
V = \pi \int_0^h \left(r^2 + 2r\frac{R-r}{h}x + \frac{(R-r)^2}{h^2}x^2\right)dx.
\]
Tính tích phân:
\[
V = \pi \left[r^2x + r\frac{R-r}{h}x^2 + \frac{(R-r)^2}{3h^2}x^3 \right]\Bigg|_0^h.
\]
Thay cận:
\[
V = \pi \left(hr^2 + hr(R-r) + \frac{h(R-r)^2}{3}\right).
\]
Rút gọn:
\[
V = \pi h\left(rR + \frac{(R-r)^2}{3}\right)
= \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2).
\]
Vậy thể tích khối nón cụt với chiều cao $h$, bán kính hai đáy $R,\, r$ là:
\[\boxed{ V= \frac{\pi h}{3}(R^2 + Rr + r^2)}
\]
Bài toán
(Vận dụng 3 SGK Toán 12 tập 2, trang 25)a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông $OABC$ trong mặt phẳng $Oxy$ với $OA = h$, $AB = R$ và $OC = r$, quanh trục $Ox$ (khối nón cụt).
b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng $R$ và chiều cao $h$.
Lời giải
a) Tính thể tích khối nón cụt bằng tích phân
b) Tính thể tích khối nón bằng tích phân
Khối nón thu được khi $r=0$. Thay vào công thức trên: \[ V = \frac{\pi h}{3}(R^2 + 0 + 0) = \frac{1}{3}\pi R^2 h. \] Vậy thể tích khối nón có chiều cao $h$ và bán kính đáy $R$ là: \[\boxed{ V = \frac{1}{3}\pi R^2 h} \] Cách 2 (tính trực tiếp). Quay tam giác vuông $OAB$ quanh trục $Ox$: \[ V = \pi \int_0^h \left(\frac{R}{h}x\right)^2 \,dx= \frac{1}{3}\pi R^2 h. \]
