Bài toán (bể chứa dầu) Một bể chứa dầu ban đầu có $40\ 000$ lít dầu. Gọi $V(t)$ là thể tích dầu (lít) trong bể tại thời điểm $t$, trong đó ...
Bài toán (bể chứa dầu)
Một bể chứa dầu ban đầu có $40\ 000$ lít dầu. Gọi $V(t)$ là thể tích dầu (lít) trong bể tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo giờ $\left( 0\le t\le 24 \right)$. Trong quá trình bơm dầu vào bể, thể tích dầu tăng theo tốc độ được biểu diễn bởi hàm số $V'(t)=k.\sqrt{t}$, với $k$ là hằng số dương. Sau $4$ giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt $48\ 000$ lít. Các khẳng định sau đây đúng hay sai?a) Hàm số $V(t)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(t)=k.\sqrt{t}$.
b) $V(t)=\dfrac{2k}{3}.t\sqrt{t}+40\ 000$ với $0\le t\le 24$ và $k$ là hằng số.
c) Sau $16$ giờ bơm liên tục, thể tích dầu trong bể đạt được $140\ 000$ lít.
d) Trong quá trình bơm dầu, nếu sau mỗi giờ lượng dầu bị rò rỉ đều đặn với tốc độ $300$ lít/giờ, thì tại thời điểm $t$ bằng $16$ giờ, thể tích dầu trong bể là $99\ 200$ lít.
Đáp án/Lời giải
a) Đúng.
Theo định nghĩa nguyên hàm.b) Đúng.
$V(t)=\displaystyle\int k\sqrt{t} dt=\dfrac{2k}{3}t\sqrt{t}+C$$V(0)=40\ 000\Rightarrow C=40\ 000$ $\Rightarrow V(t)=\dfrac{2k}{3}t\sqrt{t}+40\ 000.$
c) Sai.
$V(4)=\dfrac{2k}{3}\cdot4\sqrt{4}+40\ 000=48\ 000$ $\Rightarrow k=1\ 500\Rightarrow V(t)=1\ 000t\sqrt{t}+40\ 000.$Do đó: $V(16)=104\ 000.$
