Kỹ thuật hạ bậc nghiệm và áp dụng định lý Vi-ét để tính giá trị biểu thức không đối xứng. Lời giải chi tiết từ đề thi học sinh giỏi Toán 9 TP.HCM 2026
Ứng dụng định lý Vi-ét giải biểu thức không đối xứng
Đề bài
[Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 9 - TP. Hồ Chí Minh - Tháng 03/2026]Cho phương trình $x^2 - 3x - 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$. Tính giá trị của biểu thức: \[ A = x_1^2 - 2x_2^2 + x_1 + 10x_2 - 7x_1x_2 \]
Lời giải chi tiết
1. Kỹ thuật hạ bậc nghiệm
Vì $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 - 3x - 1 = 0$, ta có các đẳng thức sau: \[ x_1^2 - 3x_1 - 1 = 0 \implies x_1^2 = 3x_1 + 1 \] \[ x_2^2 - 3x_2 - 1 = 0 \implies x_2^2 = 3x_2 + 1 \]
Đây là bước quan trọng giúp chuyển các số hạng bậc hai về bậc nhất, làm đơn giản hóa biểu thức không đối xứng.
2. Biến đổi biểu thức A
Thế $x_1^2 = 3x_1 + 1$ và $x_2^2 = 3x_2 + 1$ vào biểu thức $A$, ta được:\[ A = (3x_1 + 1) - 2(3x_2 + 1) + x_1 + 10x_2 - 7x_1x_2 \]
Phá ngoặc và thu gọn các số hạng đồng dạng: \[\begin{aligned} A &= 3x_1 + 1 - 6x_2 - 2 + x_1 + 10x_2 - 7x_1x_2 \\ & = (3x_1 + x_1) + (10x_2 - 6x_2) - 7x_1x_2 - 1 \\ & = 4x_1 + 4x_2 - 7x_1x_2 - 1 \\ & = 4(x_1 + x_2) - 7x_1x_2 - 1 \end{aligned}\]3. Áp dụng định lý Vi-ét
Theo định lý Vi-ét, đối với phương trình $x^2 - 3x - 1 = 0$, ta có: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = \frac{-(-3)}{1} = 3 \\ x_1x_2 = \frac{-1}{1} = -1 \end{cases} \] Thay các giá trị này vào biểu thức đã thu gọn: \[ \begin{aligned}A &= 4 \cdot (3) - 7 \cdot (-1) - 1 \\ & = 12 + 7 - 1 = 18 \end{aligned}\]
Kết luận
Vậy giá trị của biểu thức là $\boxed{A = 18}$.
Nhận xét
Điểm mấu chốt: Biểu thức $A$ ban đầu có các hệ số gắn với $x_1$ và $x_2$ không giống nhau (không đối xứng). Việc sử dụng ngay định lý Vi-ét sẽ gặp khó khăn. Tuy nhiên, nhờ tính chất $x_i$ là nghiệm nên thỏa mãn phương trình gốc, ta dễ dàng hạ bậc và đưa biểu thức về dạng đối xứng $4(x_1+x_2)$ để thay số.
Bài tập tương tự: Biểu thức nghiệm không đối xứng
Sau khi đã nắm vững kỹ thuật hạ bậc từ đề thi HSG TP.HCM, các em hãy thử sức với bài tập dưới đây. Lưu ý cách xử lý hệ số ở các số hạng bậc cao trước khi thay hệ thức Vi-ét.
Đề bài tương tự 1
Cho phương trình $x^2 - 5x + 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$. Tính giá trị: $B = x_1^2 + 5x_2 - 2x_1x_2 - 3$.
Hướng dẫn giải bài 1
Bài tương tự 2
Cho phương trình $x^2 - 5x + 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$. Tính giá trị của biểu thức: \[ C = x_1^3 - 5x_1^2 + 4x_1 + x_2 + 2026 \]
