Bài toán Bảng lương: Cấp số cộng theo hàng, cấp số nhân theo cột

Bài toán thú vị về bảng lương với cấp số cộng theo hàng và cấp số nhân theo cột. Chứng minh các cấp số nhân có cùng công bội.

Bài toán sau đây là một ví dụ đẹp về sự kết hợp giữa cấp số cộng và cấp số nhân trong một bảng số. Theo từng hàng, quy luật theo cấp số cộng, còn theo từng cột lại tuân theo cấp số nhân.

Đề bài

Một công ty có $3$ chi nhánh và tại mỗi chi nhánh có $10$ bậc lương cho nhân viên. Lương của nhân viên được thể hiện trong bảng dưới đây, biết rằng:
- Trong mỗi hàng, các số tạo thành một cấp số cộng (theo thứ tự từ trái sang phải).
- Trong mỗi cột, các số tạo thành một cấp số nhân (theo thứ tự từ trên xuống dưới).
Chứng minh rằng công bội của tất cả các cấp số nhân này đều bằng nhau.

Lời giải

Gọi lương ở bậc $n$ của ba chi nhánh Bắc, Trung, Nam lần lượt là \[ a_n,\quad b_n,\quad c_n \quad (n=1,2,\dots,10). \]

Bảng lương chi tiết

Bậc lương	BẮC	TRUNG	NAM
1	$a_1$	$b_1$	$c_1$
2	$a_2$	$b_2$	$c_2$
3	$a_3$	$b_3$	$c_3$
4	$a_4$	$b_4$	$c_4$
5	$a_5$	$b_5$	$c_5$
6	$a_6$	$b_6$	$c_6$
7	$a_7$	$b_7$	$c_7$
8	$a_8$	$b_8$	$c_8$
9	$a_9$	$b_9$	$c_9$
10	$a_{10}$	$b_{10}$	$c_{10}$

Tính chất CSC, CSN

Vì mỗi cột là một cấp số nhân nên tồn tại các công bội $q_1,q_2,q_3$ sao cho \[ a_n=a_1q_1^{n-1},\ b_n=b_1q_2^{n-1},\ c_n=c_1q_3^{n-1}. \] Do mỗi hàng là một cấp số cộng nên \[ 2b_n=a_n+c_n. \] Thay các biểu thức trên vào, ta được \[ 2b_1q_2^{\,n-1}=a_1q_1^{\,n-1}+c_1q_3^{\,n-1} \] đúng với mọi $n$.

Xét các giá trị của $n$

Với $n=1$: \[ 2b_1=a_1+c_1 \Leftrightarrow b_1=\frac{a_1+c_1}{2}. \] Với $n=2$: \[ 2b_1q_2=a_1q_1+c_1q_3. \] Thay $b_1$ vào \[ (a_1+c_1)q_2=a_1q_1+c_1q_3. \] Suy ra \[ q_2=\frac{a_1q_1+c_1q_3}{a_1+c_1}. \] Với $n=3$: \[ 2b_1q_2^2=a_1q_1^2+c_1q_3^2. \] Thay $b_1$ vào \[ (a_1+c_1)q_2^2=a_1q_1^2+c_1q_3^2. \]

So sánh hai biểu thức

Từ công thức của $q_2$ ta có \[ q_2^2=\frac{(a_1q_1+c_1q_3)^2}{(a_1+c_1)^2}. \] Thay vào đẳng thức trên \[ (a_1+c_1)\frac{(a_1q_1+c_1q_3)^2}{(a_1+c_1)^2} = a_1q_1^2+c_1q_3^2. \] Rút gọn \[ (a_1q_1+c_1q_3)^2=(a_1+c_1)(a_1q_1^2+c_1q_3^2). \] Khai triển hai vế và rút gọn ta được \[ 2q_1q_3=q_1^2+q_3^2. \] Suy ra \[ (q_1-q_3)^2=0 \Leftrightarrow q_1=q_3. \] Thay vào công thức của $q_2$ ta được \[ q_2=q_1. \]

Kết luận

\[ \boxed{q_1=q_2=q_3}. \] Vậy công bội của các cấp số nhân trong ba cột đều bằng nhau.