Chứng minh luôn có thể cắt một phần bánh để chia 10 phần bánh thành hai nhóm 5 phần có tổng khối lượng bằng nhau. Bài toán tư duy hay cho HSG lớp 9.
Bài toán sau là một ví dụ thú vị về tư duy tổ hợp trong các bài toán chia đều, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi THCS. Một chiếc bánh sinh nhật được cắt thành nhiều phần với khối lượng khác nhau và ta được phép cắt thêm một phần bánh để chia lại thành hai nhóm bằng nhau.
Điều đáng chú ý là chỉ cần sắp xếp các phần bánh theo thứ tự tăng dần và ghép các phần theo chỉ số lẻ – chẵn, ta có thể chứng minh việc chia đều luôn thực hiện được.
Đề bài
Một chiếc bánh sinh nhật được cắt thành \(9\) phần (khối lượng mỗi phần có thể khác nhau).
Chứng minh rằng ta luôn có thể chọn một phần bánh và cắt nó thành hai phần mới sao cho với \(10\) phần bánh đó có thể chia thành hai nhóm, mỗi nhóm gồm \(5\) phần, mà tổng khối lượng của hai nhóm bằng nhau.
Lời giải
1. Sắp xếp các phần bánh
Gọi trọng lượng các phần bánh theo thứ tự tăng dần là
\[ a_1 \le a_2 \le a_3 \le a_4 \le a_5 \le a_6 \le a_7 \le a_8 \le a_9. \]Đặt
\[ S=a_1+a_2+\cdots+a_9 \]là tổng trọng lượng của tất cả các phần bánh.
2. Xét hai tổng đặc biệt
Ta có
và
Suy ra cả hai tổng
\[ a_1+a_3+a_5+a_7 \]và
\[ a_2+a_4+a_6+a_8 \]đều nhỏ hơn
\[ \frac{S}{2}. \]3. Cắt phần bánh lớn nhất
Cắt phần bánh lớn nhất có trọng lượng \(a_9\) thành hai phần
\[ x=\frac{S}{2}-(a_1+a_3+a_5+a_7), \] \[ y=\frac{S}{2}-(a_2+a_4+a_6+a_8). \]4. Chia hai nhóm bánh
Khi đó ta có
\[ a_1+a_3+a_5+a_7+x=\frac{S}{2} \]và
\[ a_2+a_4+a_6+a_8+y=\frac{S}{2}. \]Do đó hai nhóm
\[ \{a_1,a_3,a_5,a_7,x\} \]và
\[ \{a_2,a_4,a_6,a_8,y\} \]đều gồm \(5\) phần và có tổng khối lượng bằng nhau.
Kết luận
Luôn có thể cắt phần bánh lớn nhất thành hai phần thích hợp để chia \(10\) phần bánh thành hai nhóm, mỗi nhóm gồm \(5\) phần và có tổng khối lượng bằng nhau.
Nhận xét
Ý tưởng chính của bài toán là sắp xếp các phần bánh theo thứ tự tăng dần rồi ghép các phần theo chỉ số lẻ và chẵn.
Hai tổng
\[ a_1+a_3+a_5+a_7 \quad\text{và}\quad a_2+a_4+a_6+a_8 \]đều nhỏ hơn \(\frac{S}{2}\), do đó có thể cắt phần bánh lớn nhất để bù phần thiếu và tạo ra hai nhóm có tổng bằng nhau.
Đây là một lời giải ngắn gọn và đẹp, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi toán THCS.
