Bài toán chuyển động hai xe vuông góc, tìm thời gian khi khoảng cách giữa hai xe 13km. Lời giải chi tiết cho học sinh lớp 9 thi vào lớp 10 chuyên SPHN
Bài toán chuyển động hai xe theo hai hướng vuông góc là dạng quen thuộc trong đề thi vào lớp 10. Dạng toán này thường kết hợp chuyển động đều với định lý Pythagore để thiết lập phương trình.
Trong bài viết này, ta sẽ giải chi tiết một bài toán thực tế về khoảng cách giữa hai xe theo thời gian.
Bài toán chuyển động hai xe – Khoảng cách theo thời gian
Đây là dạng bài toán chuyển động quen thuộc trong đề thi vào lớp 10, kết hợp giữa chuyển động đều và định lý Pythagore.
Đề bài
Hai ô tô chuyển động đều, xuất phát tại cùng một thời điểm với tốc độ như nhau là \(60\) km/h từ hai vị trí \(A\) và \(B\) theo hai hướng vuông góc với nhau để cùng đi về bến cuối \(O\).
Biết vị trí \(A\) cách bến \(57\) km, vị trí \(B\) cách bến \(50\) km.
Hỏi sau bao lâu kể từ khi xuất phát, hai xe vẫn chưa đến \(O\) và cách nhau \(13\) km?
Lời giải
Gọi \(x\) (giờ) là thời gian kể từ lúc xuất phát \((0<x<\dfrac{5}{6})\).
Sau \(x\) giờ, ô-tô đi từ $A$ đến $M$ và oto đi từ $B$ đến $N$. Ta có:
\[ AM = 60x,\quad BN = 60x \]
Khi đó:
\[ OM = 57 - 60x,\quad ON = 50 - 60x \]
Khoảng cách giữa hai xe:
\[ MN = 13 \]
Vì tam giác \(OMN\) vuông tại \(O\), theo định lí Pythagore ta có:
\[ OM^2 + ON^2 = MN^2 \]
\[ (57 - 60x)^2 + (50 - 60x)^2 = 13^2 \]
Khai triển:
\[ 3249 - 6840x + 3600x^2 + 2500 - 6000x + 3600x^2 = 169 \]
\[ 7200x^2 - 12840x + 5580 = 0 \]
Chia cả hai vế cho \(60\):
\[ 120x^2 - 214x + 93 = 0 \]
Giải phương trình:
\[ x_1 = \frac{31}{30} \ (\text{loại}),\quad x_2 = \frac{3}{4} \]
Vì \(x<\dfrac{5}{6}\) nên nhận \(x=\dfrac{3}{4}\).
Vậy sau \(\dfrac{3}{4}\) giờ (tức \(45\) phút), hai xe chưa đến \(O\) và cách nhau \(13\) km.
Kết luận
Thời gian cần tìm là \[ \boxed{\frac{3}{4}\text{ giờ }=45\text{ phút}.} \]
