Toán đại số lớp 8: Cho a,b,c≠0 thỏa mãn a/b + b/c + c/a = b/a + a/c + c/b, tính P=(a^2026-b^2026)(b^2026-c^2026)(c^2026-a^2026) và lời giải chi tiết.
Bài toán dưới đây là một bài đại số khá thú vị dành cho học sinh lớp 8. Từ một điều kiện đối xứng đơn giản giữa các phân thức, ta có thể suy ra một hệ quả rất mạnh.
Điểm hay của bài toán nằm ở việc nhận ra một hằng đẳng thức ba biến quen thuộc. Khi phát hiện được điều này, việc tính biểu thức tưởng chừng rất lớn trở nên cực kỳ đơn giản.
Đây là dạng bài rất phù hợp để rèn luyện kỹ năng biến đổi đại số và nhận dạng hằng đẳng thức.
Đề bài
Cho ba số \(a,b,c\) khác \(0\) thỏa mãn
\[ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} = \frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}. \]Tính
\[ P=(a^{2026}-b^{2026})(b^{2026}-c^{2026})(c^{2026}-a^{2026}). \]Lời giải
Bước 1. Biến đổi giả thiết
Từ giả thiết ta có
\[ \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} = \frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}. \]Chuyển vế:
\[ \left(\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right) + \left(\frac{b}{c}-\frac{c}{b}\right) + \left(\frac{c}{a}-\frac{a}{c}\right)=0. \]Quy đồng từng hiệu:
\[ \frac{a^2-b^2}{ab} + \frac{b^2-c^2}{bc} + \frac{c^2-a^2}{ca} =0. \]Nhân hai vế với \(abc\):
\[ c(a^2-b^2)+a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)=0. \]Khai triển:
\[ ca^2-cb^2+ab^2-ac^2+bc^2-ba^2=0. \]Nhóm các hạng tử:
\[ a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)=0. \]Bước 2. Sử dụng hằng đẳng thức
Ta có hằng đẳng thức
Suy ra
\[ (a-b)(b-c)(c-a)=0. \]Do đó
\[ a=b \quad \text{hoặc} \quad b=c \quad \text{hoặc} \quad c=a. \]Bước 3. Tính giá trị biểu thức
Biểu thức cần tính là
\[ P=(a^{2026}-b^{2026})(b^{2026}-c^{2026})(c^{2026}-a^{2026}). \]Nếu \(a=b\) thì \( a^{2026}-b^{2026}=0 \) nên \( P=0. \)
Hai trường hợp \(b=c\) hoặc \(c=a\) cũng cho kết quả tương tự.
Kết luận
\[ \boxed{P=0.} \]Nhận xét
1) Điểm mấu chốt của bài toán là nhận ra:
Hằng đẳng thức ba biến
Chứng minh hằng đẳng thức
Ta có
\[ \begin{aligned} VP&=(a-b)(b-c)(c-a)\\ &=(ab-ac-b^2+bc)(c-a)\\ &=abc-a^2b-ac^2+a^2c-b^2c+ab^2+bc^2-abc\\ &=-a^2b+a^2c+ab^2-b^2c-ac^2+bc^2\\ &=a^2(c-b)+b^2(a-c)+c^2(b-a)=VT. \end{aligned}\]Hằng đẳng thức được chứng minh.
2) Đây là một hằng đẳng thức rất hữu ích khi biến đổi các biểu thức đối xứng ba biến. Khi một biểu thức bằng \(0\), ta thường suy ra ngay rằng có hai biến bằng nhau.
3) Trong bài toán này, nhờ kết quả đó mà biểu thức chứa lũy thừa rất lớn \(2026\) lập tức triệt tiêu và cho kết quả \(P=0\).
4) Tổng quát: với mọi số nguyên dương \(n\) ta đều có
\[ P_n=(a^n-b^n)(b^n-c^n)(c^n-a^n)=0. \]
