Logarit thập phân và độ pH của đất – Ứng dụng logarit trong thực tế

Bài toán logarit về độ pH của đất: tính pH từ nồng độ ion H+, phân tích các mệnh đề đúng sai và ứng dụng trong nông nghiệp. Lời giải chi tiết, dễ hiểu

Độ pH là đại lượng quan trọng dùng để đánh giá độ axit của đất và dung dịch trong hóa học. Trong toán học, việc tính độ pH thường liên quan trực tiếp đến hàm logarit thập phân và nồng độ ion hydrogen \(H^+\).

Bài toán dưới đây minh họa cách sử dụng logarit để tính độ pH của đất và phân tích một số mệnh đề đúng sai trong thực tế nông nghiệp.

Bài toán ứng dụng logarit (thập phân) tính độ pH của đất

Đề bài

Đề KSCL Toán 11 Sở GD Hà Nội - 3/2026: Bài toán ứng dụng logarit tính độ pH của đất

Độ pH của đất được tính theo công thức

\[ pH=-\log[H^+] \]

trong đó \([H^+]\) là nồng độ (mol/lít) của ion hydrogen.

Một nông trại trồng dưa lưới đo được nồng độ \([H^+]\) của đất ban đầu là

\[ 1.58\times10^{-5}\,(mol/lít). \]

Sau khi xử lí đất bằng vôi bột, nồng độ \([H^+]\) giảm $4$ lần so với ban đầu.

Cây dưa lưới phát triển tốt khi độ pH nằm trong khoảng từ $6.0$ đến $6.5$.

Hãy xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Độ pH của đất ban đầu thuộc khoảng $(4.5;5)$.

b) Nếu độ pH của đất là $6.2$ thì nồng độ \([H^+]\) lớn hơn $6.31\times10^{-7}$ (mol/lít).

c) Nếu nồng độ \([H^+]\) giảm $k$ lần thì độ pH tăng $\log k$ đơn vị.

d) Sau khi xử lí đất bằng vôi bột, độ pH của đất đạt điều kiện thích hợp để cây dưa lưới phát triển tốt.

Lời giải

a) Tính độ pH ban đầu

\[ pH=-\log(1.58\times10^{-5}) \approx4.80 \]

Suy ra

\[ 4.5<pH<5 \]

Mệnh đề a đúng.

b) Xét trường hợp \(pH=6.2\)

Từ công thức trong đề bài, ta suy ra

\[ [H^+]=10^{-pH} \]

Thay số ta được

\[ [H^+]=10^{-6.2} =10^{-7}\times10^{0.8}\] \[\approx6.3095734448\times10^{-7} \]

Do đó nồng độ không lớn hơn \(6.31\times10^{-7}\).

Mệnh đề b sai.

c) Xét sự thay đổi nồng độ

Nếu nồng độ giảm \(k\) lần:

\[ [H^+]_{mới}=\frac{[H^+]}{k} \]

Độ pH mới:

\[ pH'=-\log\left(\frac{[H^+]}{k}\right) \]

\[ pH'=pH+\log k \]

Vì vậy độ pH tăng \(\log k\) đơn vị.

Mệnh đề c đúng.

d) Độ pH sau khi xử lí đất

Nồng độ mới:

\[ [H^+]=\frac{1.58\times10^{-5}}{4} \]

\[ [H^+]=3.95\times10^{-6} \]

Độ pH mới:

\[ pH=-\log(3.95\times10^{-6}) \approx5.40 \]

Khoảng thích hợp cho cây dưa lưới:

\[ 6.0\le pH\le6.5 \]

Vì \(5.40<6\) nên đất chưa đạt điều kiện thích hợp.

Mệnh đề d sai.

Kết luận

Tổng hợp kết quả đúng/sai từ lời giải chi tiết ở trên:

• a) Đúng
• b) Sai
• c) Đúng
• d) Sai

Bài toán cho thấy mối liên hệ giữa logarit và các đại lượng hóa học như độ pH của dung dịch hoặc của đất nông nghiệp.