Bài toán con kiến di chuyển trên lưới chỉ sang phải hoặc đi lên. Tính xác suất con kiến đi từ A đến C phải đi qua điểm B bằng phương pháp tổ hợp lớp 9
Bài toán sau là một ví dụ thú vị về xác suất đường đi trên lưới, thường xuất hiện trong các đề thi học sinh môn toán. Một con kiến di chuyển trên các đường kẻ của mạng lưới ô vuông và tại mỗi ngã rẽ nó chỉ được phép đi sang phải hoặc đi lên trên.
Bài toán yêu cầu tính xác suất để trên đường đi từ điểm \(A\) đến \(C\), con kiến phải đi qua một điểm trung gian \(B\). Nhờ việc đếm số đường đi bằng tổ hợp, ta có thể giải bài toán này một cách ngắn gọn và trực quan.
Đề bài
Một con kiến di chuyển ngẫu nhiên theo các đường kẻ từ \(A\) đến \(C\) (như hình vẽ). Khi tới các ngã rẽ, con kiến chỉ được di chuyển sang phải hoặc đi lên trên.
Tính xác suất để trên đường đi từ \(A\) đến \(C\), con kiến phải đi qua điểm \(B\).
Lời giải
1. Số đường đi từ \(A\) đến \(C\)
Quan sát hình vẽ, để đi từ \(A\) đến \(C\) con kiến cần
- \(4\) bước sang phải
- \(3\) bước đi lên
Tổng số bước là
\[ 4+3=7 \]Số đường đi từ \(A\) đến \(C\) chính là số cách sắp xếp \(4\) bước sang phải và \(3\) bước đi lên.
\[ \binom{7}{3}=35 \]Vậy có 35 đường đi từ \(A\) đến \(C\).
2. Số đường đi từ \(A\) đến \(B\)
Để đi từ \(A\) đến \(B\) cần
- \(2\) bước sang phải
- \(2\) bước đi lên
Do đó số đường đi là
\[ \binom{4}{2}=6 \]Vậy có \(6\) đường đi từ \(A\) đến \(B\).
3. Số đường đi từ \(B\) đến \(C\)
Từ \(B\) đến \(C\) cần
- \(2\) bước sang phải
- \(1\) bước đi lên
Số đường đi là
\[ \binom{3}{1}=3 \]Vậy có \(3\) đường đi từ \(B\) đến \(C\).
4. Số đường đi từ \(A\) đến \(C\) qua \(B\)
Theo quy tắc nhân, số đường đi từ \(A\) đến \(C\) qua \(B\) là
\[ 6\times3=18 \]Vậy có 18 đường đi từ \(A\) đến \(C\) đi qua \(B\).
5. Tính xác suất
Vì các đường đi đều có khả năng như nhau nên xác suất cần tìm là
\[ P=\frac{18}{35} \]Kết luận
Xác suất để con kiến đi từ \(A\) đến \(C\) và phải đi qua điểm \(B\) là
\[ \boxed{\frac{18}{35}} \]Nhận xét
Bài toán này thuộc dạng đếm số đường đi trên lưới. Nếu một hành trình gồm
- \(m\) bước sang phải
- \(n\) bước đi lên
thì số đường đi từ điểm đầu đến điểm cuối là
\[ \binom{m+n}{m} \]Nhờ công thức tổ hợp này, nhiều bài toán xác suất trong chương trình phổ thông có thể được giải nhanh và ngắn gọn.
