Bài toán xác suất liên quan tiệm cận của hàm phân thức hữu tỉ

Giải chi tiết bài toán xác suất và tiệm cận của hàm số f(x) = (x-a)(x-b)/(x-c) khi a,b,c được chọn ngẫu nhiên trong tập số nguyên từ -22 đến 22.

Bài toán dưới đây kết hợp việc xác định tiệm cận của hàm phân thức với đếm xác suất khi các tham số được chọn ngẫu nhiên trong một tập hợp hữu hạn.

Chúng ta sẽ lần lượt xác định điều kiện để đồ thị có hai tiệm cận và tính xác suất tương ứng.

Đề bài

Cho \(X\) là tập hợp gồm \(45\) số nguyên từ \(-22\) đến \(22\). Chọn ngẫu nhiên \(a,b,c\in X\) để tạo thành hàm số \[ f(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{x-c} \] có đồ thị \((C)\).

a) Tính xác suất để đồ thị \((C)\) có \(2\) đường tiệm cận.

b) Tính xác suất để đồ thị \((C)\) có \(2\) đường tiệm cận cắt nhau tại điểm nằm trên trục hoành.

Kết quả nhanh
\[ P_a=\left(\frac{44}{45}\right)^2 \] \[ P_b=\frac{968}{91125}. \]

a) Xác suất để đồ thị có 2 đường tiệm cận

Ta có \[ X=\{-22,-21,\dots,22\},\qquad |X|=45. \] Chọn ngẫu nhiên \(a,b,c\in X\) nên số bộ \((a,b,c)\) là \[ 45^3. \]

Xác định các đường tiệm cận

Xét hàm số \[ f(x)=\frac{(x-a)(x-b)}{x-c}. \] Ta biến đổi \[ f(x)=\frac{x^2-(a+b)x+ab}{x-c}. \] Chia đa thức cho \(x-c\): \[ f(x)=x+c-a-b+\frac{(a-c)(b-c)}{x-c}. \] Suy ra Tiệm cận xiên: \[ y=x+c-a-b \] Tiệm cận đứng: \[ x=c \] Tiệm cận đứng tồn tại khi \[ (a-c)(b-c)\ne0 \] tức là \[ a\ne c,\quad b\ne c. \]

Đếm số trường hợp

Chọn \(c\): \(45\) cách.
Chọn \(a\ne c\): \(44\) cách.
Chọn \(b\ne c\): \(44\) cách.
Do đó số bộ thỏa mãn \[ 45\cdot44\cdot44. \]

Xác suất

\[ P_a=\frac{45\cdot44^2}{45^3} =\left(\frac{44}{45}\right)^2. \]

b) Hai tiệm cận cắt nhau tại điểm nằm trên trục hoành

Tọa độ giao điểm hai tiệm cận

Hai tiệm cận của đồ thị là \[ x=c,\qquad y=x+c-a-b. \] Giao điểm của chúng \[ x=c \] \[ y=c+c-a-b=2c-a-b. \] Điểm này nằm trên trục hoành khi \[ 2c-a-b=0 \] hay \[ a+b=2c. \]

Đếm số bộ thỏa mãn

Đặt \[ a=c+k,\qquad b=c-k. \] Vì \(a,b\in X\): \[ |k|\le 22-|c|. \] Để tồn tại tiệm cận đứng cần \[ a\ne c,\quad b\ne c \] nên \[ k\ne0. \] Do đó \[ k=\pm1,\pm2,\dots,\pm(22-|c|). \] Số giá trị của \(k\): \[ 2(22-|c|). \] Với mỗi \(c\) có \(2(22-|c|)\) bộ \((a,b)\). Tổng số bộ: \[ N=\sum_{c=-22}^{22}2(22-|c|). \] Đặt \(t=|c|\): \[ N=2\Big[(22-0)+2\sum_{t=1}^{22}(22-t)\Big]. \] Ta có \[ \sum_{t=1}^{22}(22-t)=\sum_{m=0}^{21}m =\frac{21\cdot22}{2}=231. \] Suy ra \[ N=2(22+2\cdot231)=968. \]

Xác suất

\[ P_b=\frac{968}{45^3} =\frac{968}{91125}. \]

Kết luận

Xác suất để đồ thị \((C)\) có \(2\) đường tiệm cận: \[ \boxed{P_a=\left(\frac{44}{45}\right)^2} \] Xác suất để đồ thị \((C)\) có \(2\) đường tiệm cận cắt nhau tại điểm nằm trên trục hoành: \[ \boxed{P_b=\frac{968}{91125}} \]