Chứng minh bất đẳng thức Bernoulli (Bec-nu-li) cho trường hợp tổng quát (x, r đều là số thực), bdt becnuli, bđt Bernoulli và ứng dụng (ví dụ có giải)
Bất đẳng thức Bernoulli
Định lí. Với mọi số thực \(x>-1\) và số thực $r>0$, ta có:
\[ \text{a) Nếu } r\ge1 \text{ thì } (1+x)^r \ge 1+rx. \] \[ \text{b) Nếu } 0<r<1 \text{ thì } (1+x)^r \le 1+rx. \] Dấu đẳng thức xảy ra khi $x=0.$Chứng minh bđt Bernoulli
Xét hàm số \[ f(x)=(1+x)^r, \quad x>-1. \] Ta có: \[ f'(x)=r(1+x)^{r-1}, \] \[ f''(x)=r(r-1)(1+x)^{r-2}. \] Tại \(x=0\): \[ f(0)=1, \quad f'(0)=r. \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x=0\): \[ y=1+rx. \] a) Nếu \(r\ge1\) thì \(f''(x)\ge0\), nên hàm số lồi trên \((-1,+\infty)\).
Ứng dụng bđt Bernoulli
Ví dụ.
Chứng minh dãy số \((u_n)\) với \[ u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n, \ n \in \mathbb{N^*} \] là dãy số tăng (thực sự).Hướng dẫn.
Ta cần chứng minh \[ u_{n+1}> u_n, \quad \forall n \in \mathbb{N^*}. \] Do các số hạng đều dương nên ta xét tỉ số $\frac{u_{n+1}}{u_n}$: $$ \begin{aligned} \frac{u_{n+1}}{u_n} &= \frac{\left(1+\frac{1}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} = \frac{\left(\frac{n+2}{n+1}\right)^{n+1}}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n} \\ &= \frac{n+2}{n+1} \cdot \left[ \frac{n(n+2)}{(n+1)^2} \right]^n \\ &= \frac{n+2}{n+1} \cdot \left[ 1 - \frac{1}{(n+1)^2} \right]^n \end{aligned} $$ Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli cho $x = -\frac{1}{(n+1)^2} > -1$ và $r=n\ge 1$: $$ \begin{aligned} \frac{u_{n+1}}{u_n} &> \frac{n+2}{n+1} \cdot \left[ 1 - \frac{n}{(n+1)^2} \right] \\ &= \frac{n+2}{n+1} \cdot \frac{n^2+2n+1-n}{(n+1)^2} \\ &= \frac{(n+2)(n^2+n+1)}{(n+1)^3} \\ &= \frac{n^3+3n^2+3n+2}{n^3+3n^2+3n+1} > 1 \end{aligned} $$ Vì $\frac{u_{n+1}}{u_n} > 1$ nên $u_{n+1} > u_n,\ \forall n \in \mathbb{N^*}$.Vậy dãy \((u_n)\) là dãy tăng.
