Bất đẳng thức Schur tổng quát có chứng minh và các trường hợp thường dùng: BĐT Schur bậc 3, bất đẳng thức Schur bậc 4
Các bất đẳng thức dưới đây áp dụng cho các số thực không âm $a,b,c$ và số thực dương $n$.
Ta có
Bất đẳng thức Schur được chứng minh.
Bất đẳng thức Schur tổng quát
Bđt Schur
\[
a^n(a-b)(a-c)
+ b^n(b-c)(b-a)
+ c^n(c-a)(c-b)
\ge 0.
\]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc hai số bằng nhau và số còn lại bằng $0.$
Chứng minh Schur
Không mất tính tổng quát, có thể giả sử \(a \ge b \ge c \ge 0\).Ta có
\[
\text{Vế trái }= (a-b)\big[a^n (a-c) - b^n (b-c)\big] + c^n (a-c)(b-c) \ge 0.
\]
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$ hoặc $a=b$ và $c=0$.Bất đẳng thức Schur được chứng minh.
Dạng khai triển tương đương
\[
a^{n+2} + b^{n+2} + c^{n+2}
+ abc \sum_{\mathrm{cyc}} a^{\,n-1}
\ge \sum_{\mathrm{sym}} a^{\,n+1} b.
\]
Các trường hợp thường dùng
Bất đẳng thức Schur bậc 3
Với $n=1$, ta có bất đẳng thức Schur bậc 3:\[
a(a-b)(a-c) + b(b-c)(b-a) + c(c-a)(c-b) \ge 0.
\]
Dạng khai triển:
\[
a^3 + b^3 + c^3 + 3abc
\ge ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a).
\]
Bất đẳng thức Schur bậc 4
Với $n=2$, ta có bất đẳng thức Schur bậc 4:\[
a^2(a-b)(a-c) + b^2(b-c)(b-a) + c^2(c-a)(c-b) \ge 0.
\]
Dạng khai triển:
\[
a^4 + b^4 + c^4 + abc(a+b+c)
\ge \sum_{\mathrm{sym}} a^3 b.
\]
Trong đó:
\[
\sum_{\mathrm{sym}} a^3 b
= a^3b + a^3c + b^3a + b^3c + c^3a + c^3b.
\]
