Cách giải câu phương trình bậc hai lớp 9 trường Ams. Kỹ thuật xử lý biểu thức không đối xứng bằng cách kết hợp hệ thức Vi-ét và điều kiện của 2 nghiệm
Phương trình bậc hai và hệ thức điều kiện không đối xứng
Đề bài
[Đề khảo sát chất lượng Toán 9 - Trường THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam 2026]Cho phương trình bậc hai $x^2 - mx - 5 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn: \[ \frac{x_1^2}{x_2} + 7x_1 + x_2 = 0 \] Tính giá trị của biểu thức \[T = \left| \frac{x_1}{x_2} - \frac{x_2}{x_1} \right|.\]
Lời giải chi tiết
1. Điều kiện có nghiệm và hệ thức Vi-ét
Phương trình $x^2 - mx - 5 = 0$ có $ac = 1 \cdot (-5) = -5 < 0$ nên luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu $x_1, x_2$ với mọi $m$.
Do đó $x_1, x_2 \neq 0$.
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = m \\ x_1 x_2 = -5 \end{cases} \]
2. Biến đổi điều kiện không đối xứng
Từ điều kiện đề bài và lưu ý $x_2 \neq 0$ ta có: \[\frac{x_1^2}{x_2} + 7x_1 + x_2 = 0 \Leftrightarrow x_1^2 + 7x_1x_2 + x_2^2 = 0\]
Thay $x_1x_2 = -5$ vào biểu thức trên: \[ x_1^2 + 7(-5) + x_2^2 = 0 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 = 35 \]
Ta lại có\[x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = m^2 - 2(-5) = m^2 + 10.\]
Suy ra: \[m^2 + 10 = 35 \Leftrightarrow m^2 = 25 \Leftrightarrow m = \pm 5.\]
3. Tính giá trị biểu thức T
Biểu thức \[T = \left| \frac{x_1}{x_2} - \frac{x_2}{x_1} \right| = \left| \frac{x_1^2 - x_2^2}{x_1x_2} \right| = \frac{|x_1^2 - x_2^2|}{|x_1x_2|}.\]
Ta tính từng thành phần:
- $|x_1x_2| = |-5| = 5$.
-
$(x_1^2 - x_2^2)^2 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 4x_1^2x_2^2 = 35^2 - 4(-5)^2 = 1225 - 100 = 1125.$
- Suy ra $|x_1^2 - x_2^2| = \sqrt{1125} = 15\sqrt{5}$.
Vậy giá trị của $T$ là: \[ T = \frac{15\sqrt{5}}{5} = 3\sqrt{5} \]
Kết luận
Giá trị của biểu thức cần tính là $\boxed{T = 3\sqrt{5}}$.
Nhận xét
Điểm mấu chốt của bài toán này là việc quy đồng biểu thức điều kiện không đối xứng để đưa về dạng đối xứng $x_1^2 + 7x_1x_2 +x_2^2$. Một số học sinh có thể lúng túng khi thấy $x_1^2/x_2$, nhưng thực tế phép quy đồng đã giải quyết toàn bộ bài toán dù trong phương trình có tham số $m$.
Bài tập tương tự thực hành hệ thức Vi-ét
Dưới đây là một bài tập tương tự giúp các em rèn luyện kỹ năng biến đổi biểu thức điều kiện $P(x_1,x_2)$ không đối xứng và sử dụng thêm "kỹ thuật hạ bậc". Hãy thử tự giải trước khi nhấn nút xem đáp án.
Bài tập tương tự
Cho phương trình $x^2 - mx - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1 + 5x_2 + x_2^2/x_1 = 0$.
a) Tính giá trị của biểu thức:
\[ Q = |x_1 - x_2| \]
b) Tính giá trị của biểu thức
\[R = \left| \frac{x_1}{x_2^2 + 1} - \frac{x_2}{x_1^2 + 1} \right|.\]
