Giải bài toán tiêm thuốc định kỳ bằng cấp số nhân lùi vô hạn. Tính lượng thuốc tích lũy trong cơ thể và chứng minh không vượt quá ngưỡng ngộ độc 500mg
Sau mỗi 24 giờ, một phần thuốc trong cơ thể bị đào thải, nhưng bệnh nhân lại tiếp tục được tiêm thêm một liều mới. Lượng thuốc vì thế tăng dần theo thời gian, nhưng liệu có vượt quá ngưỡng an toàn hay không?
Bài toán thực tế này có thể được giải quyết rất gọn gàng bằng cách nhận ra một cấp số nhân lùi vô hạn. Từ đó ta tính được lượng thuốc tối đa mà cơ thể có thể tích lũy.
a) Tính lượng thuốc trong cơ thể của bệnh nhân này ngay sau khi tiêm liều thứ $5$.
b) Biết ngưỡng ngộ độc thuốc là $500\,\mathrm{mg}$. Hỏi nếu điều trị hằng ngày theo phương án này thì bệnh nhân có thời điểm nào bị ngộ độc hay không?
Ngay sau khi tiêm liều thứ $n$, lượng thuốc trong cơ thể là tổng đóng góp của tất cả các liều đã tiêm. Mỗi liều trước đó bị giảm theo hệ số $0,6$ sau mỗi $24$ giờ.
Do đó \[ u_n = 200 + 200\cdot0,6 + 200\cdot0,6^2 + \cdots + 200\cdot0,6^{n-1}. \] Đây là tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân với \[ u_1 = 200, \qquad q = 0,6. \] Vì vậy \[ u_n = \frac{200(1-0,6^n)}{1-0,6}. \]
a) Với $n=5$: \[ u_5=\frac{200(1-0,6^5)}{1-0,6} \] \[ =500(1-0,07776)=461,12. \] Vậy ngay sau khi tiêm liều thứ $5$, lượng thuốc trong cơ thể là \[ 461,12\,\mathrm{mg}. \]
b) Nếu tiếp tục tiêm vô hạn lần thì tổng lượng thuốc tối đa trong cơ thể là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \[ S=200+200\cdot0,6+200\cdot0,6^2+\cdots \] Vì $|0,6|<1$ nên \[ S=\frac{200}{1-0,6}=500. \]
Do đó bệnh nhân không bao giờ bị ngộ độc thuốc.
Bài toán thực tế này có thể được giải quyết rất gọn gàng bằng cách nhận ra một cấp số nhân lùi vô hạn. Từ đó ta tính được lượng thuốc tối đa mà cơ thể có thể tích lũy.
Đề bài
Một bệnh nhân được tiêm thuốc đặc trị định kỳ mỗi $24$ giờ một liều $200\,\mathrm{mg}$. Sau mỗi $24$ giờ, lượng thuốc còn lại bằng $60\%$ lượng thuốc có trong cơ thể sau lần tiêm trước đó.a) Tính lượng thuốc trong cơ thể của bệnh nhân này ngay sau khi tiêm liều thứ $5$.
b) Biết ngưỡng ngộ độc thuốc là $500\,\mathrm{mg}$. Hỏi nếu điều trị hằng ngày theo phương án này thì bệnh nhân có thời điểm nào bị ngộ độc hay không?
Lời giải
Sau mỗi $24$ giờ, lượng thuốc còn lại bằng $0,6$ lần lượng thuốc trước đó.Ngay sau khi tiêm liều thứ $n$, lượng thuốc trong cơ thể là tổng đóng góp của tất cả các liều đã tiêm. Mỗi liều trước đó bị giảm theo hệ số $0,6$ sau mỗi $24$ giờ.
Do đó \[ u_n = 200 + 200\cdot0,6 + 200\cdot0,6^2 + \cdots + 200\cdot0,6^{n-1}. \] Đây là tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân với \[ u_1 = 200, \qquad q = 0,6. \] Vì vậy \[ u_n = \frac{200(1-0,6^n)}{1-0,6}. \]
a) Với $n=5$: \[ u_5=\frac{200(1-0,6^5)}{1-0,6} \] \[ =500(1-0,07776)=461,12. \] Vậy ngay sau khi tiêm liều thứ $5$, lượng thuốc trong cơ thể là \[ 461,12\,\mathrm{mg}. \]
b) Nếu tiếp tục tiêm vô hạn lần thì tổng lượng thuốc tối đa trong cơ thể là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \[ S=200+200\cdot0,6+200\cdot0,6^2+\cdots \] Vì $|0,6|<1$ nên \[ S=\frac{200}{1-0,6}=500. \]
Kết luận
Lượng thuốc trong cơ thể luôn nhỏ hơn $500\,\mathrm{mg}$ (vì trong thực tế số lần tiêm chỉ là hữu hạn) và tiến dần tới $500\,\mathrm{mg}$ khi số lần tiêm tăng lên.Do đó bệnh nhân không bao giờ bị ngộ độc thuốc.
