Chọn ngẫu nhiên hai vạch chia 1 cm trên thanh gỗ dài 15 cm để cắt thành ba đoạn. Tính xác suất để ba đoạn gỗ ghép thành ba cạnh của một tam giác.
Trong các bài toán xác suất thực tế, việc chia một đoạn thẳng thành nhiều phần thường dẫn đến những kết quả khá bất ngờ. Bài toán dưới đây mô phỏng một tình huống trong giờ thực hành: cắt một thanh gỗ tại các vạch chia centimet. Hãy tính xác suất để ba đoạn thu được có thể ghép thành ba cạnh của một tam giác.
Đề bài
[Đề thi thử tháng 3/2026 cụm trường THPT Bắc Ninh]Trong giờ thực hành, một học sinh được giao một thanh gỗ thẳng dài $15$ cm (có $14$ vạch chia đều trên thanh gỗ). Học sinh đó thực hiện ngẫu nhiên hai nhát cắt tại các vạch chia cm để chia thanh gỗ thành $3$ đoạn.
Tính xác suất để $3$ đoạn gỗ thu được có thể ghép thành $3$ cạnh của một tam giác (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Lời giải
1. Không gian mẫu
Thanh gỗ dài $15$ cm nên có $14$ vạch chia bên trong. Ta chọn ngẫu nhiên $2$ vạch khác nhau để cắt.
\[ |\Omega| = C_{14}^{2} = 91 \]Vậy có tất cả $91$ cách chọn vị trí hai nhát cắt.
2. Đặt ẩn cho các vị trí cắt
Giả sử hai vạch cắt lần lượt là \(i\) và \(j\) với
\[ 1 \le i < j \le 14 \]Khi đó ba đoạn gỗ có độ dài
\[ a=i,\quad b=j-i,\quad c=15-j \]3. Điều kiện để ghép thành tam giác
Ba đoạn tạo thành tam giác khi
\[ a+b>c \] \[ a+c>b \] \[ b+c>a \]Thay \(a=i,\;b=j-i,\;c=15-j\) ta được:
Điều kiện 1
\[ i+(j-i)>15-j \] \[ j>7.5 \] \[ j\ge 8 \]Điều kiện 2
\[ i+(15-j)>j-i \] \[ 2i+15>2j \] \[ j\le i+7 \]Điều kiện 3
\[ (j-i)+(15-j)>i \] \[ 15-i>i \] \[ i\le 7 \]4. Đếm số trường hợp thỏa mãn
Ta có
\[ 1\le i\le 7 \] \[ 8\le j\le i+7 \]Số cặp \((i,j)\) thỏa mãn:
| i | Giá trị j | Số trường hợp |
|---|---|---|
| 1 | 8 | 1 |
| 2 | 8,9 | 2 |
| 3 | 8,9,10 | 3 |
| 4 | 8,9,10,11 | 4 |
| 5 | 8,9,10,11,12 | 5 |
| 6 | 8,9,10,11,12,13 | 6 |
| 7 | 8,9,10,11,12,13,14 | 7 |
Tổng số trường hợp thuận lợi:
\[ 1+2+3+4+5+6+7=28 \]5. Tính xác suất
\[ P=\frac{28}{91}\approx0.3077 \]Làm tròn đến hàng phần trăm:
\[ P\approx 0.31 \]Kết luận
Xác suất để ba đoạn gỗ thu được có thể ghép thành ba cạnh của một tam giác là
\[ \boxed{0.31} \]Nhận xét
1. Nếu áp dụng công thức chia kẹo Euler thì tính ra số trường hợp thuận lợi sẽ nhanh hơn
\[\binom82=28.\]2. Điều thú vị là nếu hai điểm cắt được chọn ngẫu nhiên liên tục trên đoạn thẳng thì xác suất tạo thành tam giác chỉ bằng \(25\%\). Việc chỉ cắt tại các vạch chia 1 centimet (bài toán rời rạc) làm cho xác suất tăng lên.
