Câu 6 VMO26: Tìm số nghiệm thực dương của đa thức $Q(x)=x^3-5x^2+4x-1$

Bài toán Tìm số nghiệm thực dương phân biệt của đa thức trong đề thi HSG quốc gia 2026 và đáp án chính thức của Bộ GD-ĐT (câu 6a VMO 2026)

Câu 6a đề VMO 2026

Đề bài: Tìm số nghiệm thực dương phân biệt của đa thức $Q(x)=x^3-5x^2+4x-1$.

Lời giải - đáp án

Xét đa thức \[ R(x)=-x^3Q\left(\frac{1}{x}\right)=x^3-4x^2+5x-1. \] Ta thấy mỗi nghiệm dương của $Q(x)$ sẽ tương ứng với đúng một nghiệm dương của $R(x)$.
Ta có đạo hàm \[ R'(x)=3x^2-8x+5. \] Nghiệm của $R'(x)$ là \[ x_{CĐ}=1>0,\quad x_{CT}=\frac{5}{3}>0. \] Hàm số $R(x)$ tăng thực sự trên các nửa khoảng $(-\infty;x_{CĐ}]$, $[x_{CT};+\infty)$ và giảm thực sự trên đoạn $[x_{CĐ};x_{CT}]$.
Khi đó \[ R(0)=-1<0,\quad R(x_{CD})=R(1)=1>0, \] và \[ R(x_{CT})=R\left(\frac{5}{3}\right)=\frac{23}{27}>0. \] Do \[ \lim_{x\to+\infty}R(x)=+\infty \] nên đồ thị hàm số $y=R(x)$ cắt trục hoành tại một điểm duy nhất có hoành độ thuộc $(0;1)$. Suy ra đa thức $R(x)$ có duy nhất một nghiệm dương, kéo theo $Q(x)$ cũng có duy nhất một nghiệm dương.

Đáp số

\(\boxed{1}\)