Hướng dẫn chi tiết tính xác suất để phương trình $ax^2 + (b + ca)x + bc = 0$ có nghiệm $x = -3$, với $a,b,c$ từ tập $S=\{1, ..., 18\}$ - HSG lớp 9 HCM
Xác suất & nghiệm phương trình bậc hai
Đề bài
[Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 9 - TP. Hồ Chí Minh - Năm 2026]Cho tập hợp $S = \{1; 2; \dots; 18\}$. Ba bạn lấy ngẫu nhiên trong $S$ ba số $a, b, c$ (có thể chọn trùng). Xét phương trình: \[ ax^2 + (b + ca)x + bc = 0 \] Tính xác suất để phương trình trên có nghiệm $x = -3$.
Lời giải chi tiết
1. Tính số phần tử của không gian mẫu
Vì lấy ngẫu nhiên 3 số $a, b, c$ (có thể trùng nhau) và vai trò của chúng gắn với các hệ số khác nhau trong phương trình, ta xét bộ số có thứ tự $(a, b, c)$. Số cách chọn là: \[ n(\Omega) = 18 \times 18 \times 18 = 18^3 = 5832 \text{} \]
2. Điều kiện để phương trình có nghiệm $x = -3$
Thay $x = -3$ vào phương trình: \[ a(-3)^2 + (b + ca)(-3) + bc = 0 \] \[ \iff 9a - 3b - 3ca + bc = 0 \] \[ \iff 3a(3 - c) - b(3 - c) = 0 \] \[ \iff (3a - b)(3 - c) = 0 \text{} \] Để phương trình có nghiệm $x = -3$, ta cần: $c = 3$ hoặc $b = 3a$.
3. Đếm số trường hợp thuận lợi
- Trường hợp 1: $c = 3$. Khi đó $a$ có 18 cách chọn, $b$ có 18 cách chọn. Số bộ là: $18 \times 18 = 324$ bộ.
- Trường hợp 2: $b = 3a$. Vì $$1 \leq b \leq 18 \implies 3a \leq 18$$ $$ \implies a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}.$$ Có 6 cặp $(a, b)$ thỏa mãn. Với mỗi cặp, $c$ có 18 cách chọn. Số bộ là: $6 \times 18 = 108$ bộ.
- Giao của hai trường hợp: Vừa có $c = 3$ vừa có $b = 3a$. Có $6 \times 1 = 6$ bộ bị đếm lặp.
Vậy số trường hợp thuận lợi là: \[ n(A) = 324 + 108 - 6 = 426 \text{} \]
4. Tính xác suất
Xác suất cần tìm là: \[ P(A) = \frac{426}{5832} = \frac{71}{972} \text{} \]
Ghi chú & Lưu ý
Ghi chú:
Có một bản gõ lại đề thi này thì yêu cầu ba bạn chọn $3$ số $a,b,c$ phân biệt từ tập $S$.Giả thiết "phân biệt":
Nếu đề bài yêu cầu chọn 3 số $a, b, c$ phân biệt (tức là $a \neq b, b \neq c, c \neq a$), thì số phần tử Không gian mẫu lúc này sẽ là: $$n(\Omega) = C_{18}^3 = 816.$$ Và tất nhiên, số kết quả thuận lợi cũng sẽ ít hơn.
Lưu ý:
Trong các kỳ thi học sinh giỏi, học sinh cần đọc kỹ yêu cầu về tính phân biệt của các số được chọn.
Việc xác định đúng không gian mẫu dựa trên từ ngữ của đề bài là bước then chốt để giải quyết bài toán.
