Công thức tính độ dịch chuyển và tổng quãng đường di chuyển bằng tích phân

Ứng dụng tích phân: tính độ dịch chuyển và tổng quãng đường của vật chuyển động với vận tốc v(t)=t^2-t-6 trong thời gian từ 1s đến 4s, giải chi tiết.

Trong chương trình Toán THPT, tích phân không chỉ dùng để tính diện tích mà còn có nhiều ứng dụng quan trọng trong vật lý, đặc biệt là các bài toán chuyển động. Khi biết hàm vận tốc theo thời gian, ta có thể sử dụng tích phân để tính độ dịch chuyển hoặc tổng quãng đường mà vật đi được bằng tích phân.

Bài toán dưới đây minh họa rõ sự khác nhau giữa độ dịch chuyển và tổng quãng đường thông qua việc xét dấu của vận tốc trong từng khoảng thời gian.

Ứng dụng tích phân để tính quãng đường khi biết hàm vận tốc

Bài toán (BT 4.11 SGK)

Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm \(t\) (giây) là \(v(t)=t^2-t-6\) (m/s).

a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(1\le t\le 4\), tức là tính tích phân \[ \int_{1}^{4} v(t)\,dt. \]

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính tích phân \[ \int_{1}^{4} |v(t)|\,dt. \]

Lời giải dưới đây sẽ thấy rõ sự khác nhau giữa $v(t)$ và $|v(t)|$ trong dấu tích phân (có và không có dấu giá trị tuyệt đối).

Lời giải chi tiết

Giả sử vật chuyển động trên một trục nằm ngang, chiều dương hướng từ trái sang phải.

a) Độ dịch chuyển của vật

Ta có

\[ \int_{1}^{4} v(t)\,dt = \int_{1}^{4} (t^2-t-6)\,dt \] \[= \left(\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{2}t^2-6t\right)\Bigg|_{1}^{4} = -\frac{9}{2}. \]

Vậy trong khoảng thời gian \(1\le t\le 4\), vật dịch chuyển sang bên trái được \(4{,}5\) m so với vị trí tại thời điểm \(t=1\) (giây).

Trong quá trình chuyển động, lúc thì vật đi sang trái, lúc đi sang phải, nhưng tại thời điểm \(t=4\) (giây) thì vật có vị trí nằm ở phía bên trái và cách vị trí của vật tại thời điểm \(t=1\) (giây) một khoảng là \(4{,}5\) m.

b) Tổng quãng đường vật đi được

Ta có

\[ s=\int_{1}^{4} |v(t)|\,dt = \int_{1}^{3} |t^2-t-6|\,dt + \int_{3}^{4} |t^2-t-6|\,dt. \]

Vì \(t^2-t-6=(t-3)(t+2)\) nên:

\[ s= \int_{1}^{3} (-t^2+t+6)\,dt + \int_{3}^{4} (t^2-t-6)\,dt \] \[ = \left(-\frac{1}{3}t^3+\frac{1}{2}t^2+6t\right)\Bigg|_{1}^{3} + \left(\frac{1}{3}t^3-\frac{1}{2}t^2-6t\right)\Bigg|_{3}^{4}\] \[ = \frac{22}{3}+\frac{17}{6} = \frac{61}{6}. \]

Vậy tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(1\le t\le 4\) (giây) (tính cả quãng đường lúc đi sang trái, quãng đường lúc đi sang phải) là \( \dfrac{61}{6}\approx 10,17 \text{ m}. \)

Kết luận

a) Độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian \(0\le a\le t\le b\) bằng: \[ \int_{a}^{b} v(t)\,dt. \] b) Tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(0\le a\le t\le b\) bằng: \[ \int_{a}^{b} |v(t)|\,dt. \]