Toán thực tế HSG Toán lớp 9: thiết kế tiểu cảnh khu vườn hình vuông và các hình tròn. Tính chi phí trồng hoa và cỏ khi diện tích trồng cỏ lớn nhất.
Bài toán sau là một bài toán thực tế khá thú vị trong các đề thi HSG Toán lớp 9. Từ một khu vườn hình vuông, người ta thiết kế các đường tròn tiếp xúc để tạo nên khu vực lát gạch, trồng cỏ và trồng hoa. Bài toán yêu cầu tính diện tích từng phần cũng như chi phí trồng cây trong trường hợp diện tích trồng cỏ lớn nhất.
Đề bài
Gia đình ông Minh muốn thiết kế tiểu cảnh cho khu vườn hình vuông \(ABCD\) cạnh \(10\) mét theo cách sau:
- Xác định trung điểm \(M, N\) của các cạnh \(AB, CD\).
- Vẽ đường tròn đường kính \(MN\).
- Vẽ hai đường tròn tiếp xúc ngoài với nhau, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn đường kính \(MN\) tại \(M, N\).
Tại bốn góc khu vườn ông Minh lát gạch, phần không tô màu trồng cỏ và phần còn lại trồng hoa. Lấy \(\pi = 3,14\).
a) Tính diện tích \((m^2)\) phần lát gạch.
b) Biết mỗi \(m^2\) trồng cỏ chi phí \(120\) nghìn đồng, mỗi \(m^2\) trồng hoa chi phí \(280\) nghìn đồng. Tính tổng chi phí (nghìn đồng) của khu vườn trong trường hợp diện tích trồng cỏ lớn nhất.
Lời giải
1. Diện tích phần lát gạch
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(10\) nên
\[ S_{vuông}=10^2=100 \]\(M,N\) là trung điểm của \(AB,CD\) nên
\[ MN=10 \]Đường tròn đường kính \(MN\) có bán kính
\[ R=5 \]Diện tích đường tròn:
\[ S_{tròn}=25\pi \]Với \(\pi=3,14\)
\[ S_{tròn}=78,5 \]Vậy diện tích phần lát gạch là
\[ S_{gạch}=100-78,5=21,5 \]Diện tích lát gạch bằng \(21,5 \text{ m}^2\).
2. Tìm $x$ để diện tích trồng cỏ lớn nhất
Gọi bán kính hai đường tròn trồng hoa là
\[ r_1,\; r_2 \]Do mỗi đường tròn tiếp xúc trong với đường tròn lớn bán kính \(5\) nên
\[ r_1+r_2=5 \]Đặt
\[ r_1=x,\quad r_2=5-x \]Diện tích hai vùng trồng hoa:
\[ S_{hoa}=\pi(x^2+(5-x)^2) \]Diện tích cỏ là phần còn lại trong đường tròn lớn:
\[ S_{cỏ}=25\pi-\pi(x^2+(5-x)^2) \] \[ S_{cỏ}=\pi(10x-2x^2) \] \[ S_{cỏ}=2\pi x(5-x) \]Ta có
\[ x(5-x)\le\left(\frac{x+5-x}{2}\right)^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2 \]Dấu "\(=\)" xảy ra khi và chỉ khi
\[x=5-x \Leftrightarrow x=\frac{5}{2}\]Khi đó
\[ r_1=r_2=2,5 \]Vậy diện tích trồng cỏ lớn nhất là
\[ S_{cỏ}=12,5\pi \] \[ S_{cỏ}=39,25 \]3. Tính chi phí
Diện tích trồng hoa:
\[ S_{hoa}=25\pi-12,5\pi=12,5\pi \] \[ S_{hoa}=39,25 \]Chi phí trồng cỏ:
\[ 39,25\times120=4710 \]Chi phí trồng hoa:
\[ 39,25\times280=10990 \]Tổng chi phí:
\[4710+10990= 15700 \]Kết luận
Vậy tổng chi phí là 15700 nghìn đồng (tức 15,7 triệu đồng).
Nhận xét
