Đề thi Olympic Toán học sinh, sinh viên năm 2026 - Chủ đề: Tổ hợp ở Bảng PT. Gồm: Phân hoạch thành cấp số cộng, Dãy tựa cấp số cộng, Trò chơi toán học
Kỳ thi Olympic Toán sinh viên, học sinh 2026 · Chủ đề: Tổ hợp
Thông tin đề thi
HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM
KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN, HỌC SINH NĂM 2026
CHỦ ĐỀ: TỔ HỢP
Ngày 14/03/2026
Thời gian làm bài: 180 phút
Bảng PT
Chú ý:
- Thí sinh được sử dụng kết quả của các bài phía trước trong lời giải của các bài phía sau. Nếu một bài được giải mà không dựa vào kết quả của các bài phía trước, kết quả đó có thể được sử dụng để giải các bài phía trước.
- Trong bài thi này, luôn ký hiệu tập hợp các số nguyên dương bởi \( \mathbb{Z}^+ = \{1,2,\ldots\} \) và tập hợp các số tự nhiên bởi \( \mathbb{N} = \mathbb{Z}^+ \cup \{0\} \). Ta cũng sử dụng ký hiệu \((a,b)\) cho ước số chung lớn nhất của các số nguyên \(a,b\).
Dãy Beatty và phân hoạch số nguyên dương
Bài PT.5 (6đ)
Với mỗi số thực \(x\), ký hiệu \([x]\) là số nguyên lớn nhất không vượt quá \(x\). Đặt
\[ B_\alpha = \{ [n\alpha] \mid n \in \mathbb{Z}^+ \} = \{ [\alpha], [2\alpha], \ldots \}. \]Xét các số nguyên dương \(p > q\) thỏa mãn \((p,q)=1\). Đặt \(r = \frac{p}{q}\). Gọi \(s\) là số hữu tỷ được xác định bởi
\[ \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1. \]a) Chứng minh rằng \(B_r\) là hợp của một số hữu hạn các cấp số cộng có công sai bằng \(p\).
b) Chứng minh rằng
\[ B_r \cap B_s = S_p \setminus \{0\}. \]c) Chứng minh rằng
\[ B_r \cup B_s = \mathbb{Z}^+ \setminus \{p-1, 2p-1, \ldots\}. \]Bài PT.6 (3đ)
Giả sử rằng tồn tại các số thực \(\alpha, \beta > 1\) sao cho \(B_\alpha, B_\beta\) lập thành một phân hoạch của \(\mathbb{Z}^+\).
a) Chứng minh rằng
\[ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1. \]b) Chứng minh rằng \(\alpha\) và \(\beta\) là các số vô tỷ.
Ghi chú:
Đề thi Tổ hợp đầy đủ
Gồm các bài toán về phân hoạch số nguyên và dãy Beatty.A. Phân hoạch thành cấp số cộng
B. Dãy tựa cấp số cộng
C. Trò chơi toán học
