Đề thi Olympic Toán học sinh năm 2026 - Chủ đề: Tổ hợp

Đề thi Olympic Toán học sinh, sinh viên năm 2026 - Chủ đề: Tổ hợp ở Bảng PT. Gồm: Phân hoạch thành cấp số cộng, Dãy tựa cấp số cộng, Trò chơi toán học

Kỳ thi Olympic Toán sinh viên, học sinh 2026 · Chủ đề: Tổ hợp

Thông tin đề thi

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM

KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN, HỌC SINH NĂM 2026

CHỦ ĐỀ: TỔ HỢP

Ngày 14/03/2026
Thời gian làm bài: 180 phút

Bảng PT

Chú ý:

- Thí sinh được sử dụng kết quả của các bài phía trước trong lời giải của các bài phía sau. Nếu một bài được giải mà không dựa vào kết quả của các bài phía trước, kết quả đó có thể được sử dụng để giải các bài phía trước.

- Trong bài thi này, luôn ký hiệu tập hợp các số nguyên dương bởi \( \mathbb{Z}^+ = \{1,2,\ldots\} \) và tập hợp các số tự nhiên bởi \( \mathbb{N} = \mathbb{Z}^+ \cup \{0\} \). Ta cũng sử dụng ký hiệu \((a,b)\) cho ước số chung lớn nhất của các số nguyên \(a,b\).

Dưới đây là trích dẫn một bài toán trong đề thi.

Dãy Beatty và phân hoạch số nguyên dương

Bài PT.5 (6đ)

Với mỗi số thực \(x\), ký hiệu \([x]\) là số nguyên lớn nhất không vượt quá \(x\). Đặt

\[ B_\alpha = \{ [n\alpha] \mid n \in \mathbb{Z}^+ \} = \{ [\alpha], [2\alpha], \ldots \}. \]

Xét các số nguyên dương \(p > q\) thỏa mãn \((p,q)=1\). Đặt \(r = \frac{p}{q}\). Gọi \(s\) là số hữu tỷ được xác định bởi

\[ \frac{1}{r} + \frac{1}{s} = 1. \]

a) Chứng minh rằng \(B_r\) là hợp của một số hữu hạn các cấp số cộng có công sai bằng \(p\).

b) Chứng minh rằng

\[ B_r \cap B_s = S_p \setminus \{0\}. \]

c) Chứng minh rằng

\[ B_r \cup B_s = \mathbb{Z}^+ \setminus \{p-1, 2p-1, \ldots\}. \]

Bài PT.6 (3đ)

Giả sử rằng tồn tại các số thực \(\alpha, \beta > 1\) sao cho \(B_\alpha, B_\beta\) lập thành một phân hoạch của \(\mathbb{Z}^+\).

a) Chứng minh rằng

\[ \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = 1. \]

b) Chứng minh rằng \(\alpha\) và \(\beta\) là các số vô tỷ.

Ghi chú:

Bài toán liên quan đến dãy Beatty – một kết quả kinh điển về phân hoạch các số nguyên dương bằng các dãy dạng \([n\alpha]\).

Đề thi Tổ hợp đầy đủ

Gồm các bài toán về phân hoạch số nguyên và dãy Beatty.

A. Phân hoạch thành cấp số cộng

B. Dãy tựa cấp số cộng

C. Trò chơi toán học