Đề thi Olympic Toán sinh viên, học sinh 2026 - Bảng PT - Chủ đề: Số học

Giới thiệu đề thi Olympic Toán học sinh viên, học sinh năm 2026 - Bảng PT - Chủ đề: Số học, đầy đủ đề thi gồm: Dạng bậc hai và Thặng dư bình phương.

Kỳ thi Olympic Toán sinh viên, học sinh 2026 · Chủ đề: Số học

Thông tin đề thi

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM

KỲ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN, HỌC SINH NĂM 2026

CHỦ ĐỀ: SỐ HỌC

Ngày 15/03/2026
Thời gian làm bài: 180 phút

Bảng PT

Chú ý:

- Thí sinh được sử dụng kết quả của các bài phía trước trong lời giải của các bài phía sau. Nếu một bài được giải mà không dựa vào kết quả của các bài phía trước, kết quả đó có thể được sử dụng để giải các bài phía trước.

- Trong bài thi này, luôn ký hiệu tập hợp các số nguyên bởi $\mathbb{Z}$. Ta cũng sẽ sử dụng ký hiệu \((a,b)\) cho ước số chung lớn nhất của các số nguyên \(a,b\), và \((a,b,c)\) cho ước số chung lớn nhất của \(a,b,c\).

Dưới đây là trích dẫn một bài toán trong đề thi.

Biểu diễn số nguyên tố thành tổng hai bình phương

Bài PT.4 (6đ)

Xét số nguyên tố \(p \equiv 1 \pmod{4}\). Chúng ta sẽ chứng minh rằng tồn tại các số nguyên \(x,y\) thỏa mãn

\[ p = x^2 + y^2 \]

thông qua các bước sau:

a) Bước thuận nghịch: tồn tại các số nguyên dương \(a,b\) thỏa mãn

\[ (a,b)=1 \text{ và } p \mid a^2 + b^2 \]

Hãy chứng minh điều này mà không sử dụng các kết quả về thặng dư bình phương.

b) Bước xuống thang: nếu tồn tại các số nguyên \(a,b\) như mô tả ở trên thì tồn tại các số nguyên \(x,y\) thỏa mãn

\[ p = x^2 + y^2 \]

Hãy cho thấy điều này qua việc chứng minh các ý sau:

i) Nếu số nguyên dương \(N\) và một ước nguyên tố \(q\) của \(N\) cũng là tổng của hai số chính phương thì \( \dfrac{N}{q} \) cũng viết được thành tổng của hai số chính phương.

ii) Tồn tại các số nguyên dương \(a,b\) thỏa mãn

\[ (a,b)=1,\, a,b < \frac{p}{2} \text{ và } p \mid a^2 + b^2 \]

iii) Với cách chọn \(a,b\) phía trên, nếu tồn tại một ước nguyên tố \(q \ne p\) của \(a^2+b^2\) không là tổng của hai số chính phương, thì có thể xây dựng được một dãy giảm ngặt gồm vô hạn số nguyên tố.

Ghi chú:

Bài toán khai thác phương pháp xuống thang (infinite descent) kinh điển để chứng minh định lý Fermat về tổng hai bình phương.

Đề thi Số học đầy đủ

Gồm 9 bài toán, đánh số từ PT.1 đến PT.9 trong hai chủ đề con: Thặng dư bình phương và Dạng bậc hai.

A. Thặng dư bình phương

B. Dạng bậc hai