Hướng dẫn chi tiết cách giải bài toán số thực x trong đề thi thử vào lớp 10 Chuyên sư phạm 2026, thỏa điều kiện hữu tỉ, vô tỉ của 4 số liên quan.
Bài toán về số hữu tỉ và số vô tỉ
Đề bài
[Đề thi thử vào lớp 10 chuyên Sư phạm Hà Nội 2026, ý a câu 2]Tìm tất cả các số thực $x$ sao cho trong bốn số $x + \sqrt{5}$, $x + \frac{4}{x}$, $x - \frac{4}{x}$ và $x^2 + 2\sqrt{5}$ có đúng một số không phải là số hữu tỉ.
Lời giải
1. Biện luận tính hữu tỉ
Giả sử $x$ là số hữu tỉ. Khi đó $x + \sqrt{5}$ và $x^2 + 2\sqrt{5}$ đều là số vô tỉ (vì $\sqrt{5}$ là số vô tỉ). Điều này trái với giả thiết đề bài (chỉ có đúng một số vô tỉ).
Vậy $x$ phải là số vô tỉ.
2. Phân tích mối quan hệ giữa các biểu thức
Ta có: $(x + \frac{4}{x}) + (x - \frac{4}{x}) = 2x$. Vì $x$ vô tỉ nên $2x$ cũng là số vô tỉ. Do đó, trong hai số $x + \frac{4}{x}$ và $x - \frac{4}{x}$ phải có ít nhất một số vô tỉ.
Để thỏa mãn điều kiện đề bài là có đúng một số vô tỉ, thì các số còn lại ($x + \sqrt{5}$ và $x^2 + 2\sqrt{5}$) bắt buộc phải là số hữu tỉ.
3. Giải phương trình
Đặt $x + \sqrt{5} = a$ (với $a \in \mathbb{Q}$), suy ra $x = a - \sqrt{5}$.
Thay vào biểu thức thứ tư:
\[ x^2 + 2\sqrt{5} = (a - \sqrt{5})^2 + 2\sqrt{5}\]
\[= a^2 - 2a\sqrt{5} + 5 + 2\sqrt{5} \]
\[ = (a^2 + 5) - 2\sqrt{5}(a - 1) \]
Để $x^2 + 2\sqrt{5} \in \mathbb{Q}$, phần chứa $\sqrt{5}$ phải bằng $0$, tức \[ a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = 1 \] Từ đó ta có: $x = 1 - \sqrt{5}$.
Kết luận
- $x + \sqrt{5} = 1$ (hữu tỉ)
- $x + \frac{4}{x} = -2\sqrt{5}$ (vô tỉ)
- $x - \frac{4}{x} = 2$ (hữu tỉ)
- $x^2 + 2\sqrt{5} = 6$ (hữu tỉ)
Vậy giá trị $x$ duy nhất thoả yêu cầu bài toán là: \[\boxed{x = 1 - \sqrt{5}}\]
Đầy đủ đề thi thử vào chuyên SP 2026
