Giải bài toán thực tế lớp 9: Tối ưu diện tích vườn rau

Giải chi tiết bài toán cực trị hình học thực tế sử dụng bất đẳng thức. Cách thiết lập phương trình chi phí và tối ưu hóa diện tích khu đất trồng rau.

Các bài toán vận dụng bất đẳng thức vào thực tế đời sống luôn là nội dung quan trọng trong các đề kiểm tra của trường THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng phân tích bài toán tối ưu hóa diện tích vườn rau dựa trên ngân sách vật liệu cho trước, một ví dụ điển hình về ứng dụng của bất đẳng thức AM-GM trong đại số lớp 9.

Bài toán tối ưu diện tích khu đất trồng rau với chi phí cố định

Đề bài

[Đề kiểm tra giữa học kỳ 2 năm học 2025-2026 - Toán lớp 9 - THPT Chuyên Hà Nội - Amsterdam]

Nhà bạn Cường muốn rào quanh một khu đất hình chữ nhật để trồng rau. Có một cạnh ứng với chiều dài áp sát vào bức tường gạch có sẵn nên không cần rào. Để tăng hiệu quả canh tác, họ làm thêm một hàng rào ngăn ở giữa, song song với hai cạnh bên (như hình vẽ).

Biết rằng tổng số tiền mua vật liệu để rào là $12.000.000$ đồng. Giá vật liệu được tính theo độ dài của đoạn hàng rào:

• Giá vật liệu cho đoạn hàng rào song song với bức tường là $50.000$ đồng/m.
• Giá vật liệu cho ba đoạn hàng rào vuông góc với bức tường là $40.000$ đồng/m.

Hãy tìm chiều dài và chiều rộng của khu đất để diện tích khu đất trồng rau thu được là lớn nhất.

Lời giải chi tiết

1. Thiết lập các biến số và điều kiện

Gọi chiều dài của khu đất (cạnh song song với bức tường) là $x$ (m) và chiều rộng của khu đất (cạnh vuông góc với bức tường) là $y$ (m). Điều kiện: $x, y > 0$.

Theo đề bài, chúng ta có:

• Một đoạn rào chiều dài $x$ song song với tường.
• Ba đoạn rào chiều rộng $y$ vuông góc với tường (bao gồm 2 cạnh biên và 1 hàng rào ngăn ở giữa).

2. Thiết lập phương trình chi phí

Tổng chi phí vật liệu được tính theo công thức: \[ 50.000 \cdot x + 40.000 \cdot (3y) = 12.000.000 \] Rút gọn phương trình: \[ 50.000x + 120.000y = 12.000.000 \] \[ \Leftrightarrow 5x + 12y = 1200 \]

3. Tối ưu hóa diện tích bằng bất đẳng thức AM-GM

Diện tích khu đất trồng rau là $S = x \cdot y$. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM (Cauchy) cho hai số dương $5x$ và $12y$, ta có: \[ 5x + 12y \geq 2\sqrt{5x \cdot 12y} \] \[\Leftrightarrow 1200 \geq 2\sqrt{60xy} \] \[\Leftrightarrow 600 \geq \sqrt{60S} \]

Bình phương hai vế: \[ 360000 \geq 60S \Leftrightarrow S \leq 6000 \] Vậy diện tích lớn nhất có thể là \[S_{max} = 6000 \text{ m}^2.\]

4. Xác định kích thước khu đất

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: \[ \begin{cases} 5x = 12y \\ 5x + 12y = 1200 \end{cases} \Leftrightarrow 5x = 12y = 600 \] Giải hệ phương trình trên, ta được: \[ \begin{cases} x = 120 \\ y = 50 \end{cases} \]

Kết luận (phương án tối ưu)

Để diện tích khu đất trồng rau là lớn nhất ($6000$ m²), nhà bạn Cường cần rào khu đất có:

• Chiều dài: $120$ mét.
• Chiều rộng: $50$ mét.