Giải bài toán thực tế về tối ưu chi phí - Đề thi thử vào lớp 10 CSP 2026

Giải chi tiết bài toán thực tế trong đề thi thử vào lớp 10 Chuyên Sư phạm HN. Thiết lập hệ bất phương trình và tìm giá trị nhỏ nhất của hàm chi phí.

Các bài toán thực tế đang dần trở thành 'đặc sản' trong các đề thi tuyển sinh lớp 10 những năm gần đây. Bài toán về nhu cầu Canxi của một gia đình trong đề thi thử Chuyên Sư phạm Hà Nội là một ví dụ điển hình cho dạng toán tối ưu hóa chi phí dựa trên các điều kiện ràng buộc về dinh dưỡng và khối lượng.

Bài toán tối ưu chi phí mua thực phẩm đảm bảo nhu cầu Canxi

Đề bài

[Đề thi thử vào lớp 10 - môn Toán chung - Trường THPT Chuyên Sư phạm Hà Nội]

Nhu cầu canxi khuyến nghị cho một người trưởng thành là $1000$ mg/ngày. Gia đình chị Hiền có $4$ người, vì vậy cần tối thiểu $4000$ mg canxi mỗi ngày. Hàm lượng canxi và giá tiền trung bình của một số thực phẩm như sau:

• Sữa tươi: $120$ mg/100 ml; giá $30.000$ đồng/lít.
• Cá cơm: $500$ mg/100 g; giá $200.000$ đồng/kg.
• Rau cải xanh: $100$ mg/100 g; giá $20.000$ đồng/kg.

Gia đình dự định mỗi ngày sử dụng ít nhất $1$ lít sữa, $1$ lạng cá cơm và $8$ lạng rau cải. Tổng khối lượng thực phẩm không vượt quá $5$ kg (trong điều kiện này quy đổi $1$ lít tương ứng với $1$ kg). Hỏi gia đình cần mua bao nhiêu mỗi loại để tổng chi phí là nhỏ nhất mà vẫn đảm bảo đủ $4000$ mg canxi?

Lời giải chi tiết

1. Thiết lập các biến số và điều kiện

Gọi $x$ là số lít sữa cần mua, $y$ là số lạng cá cơm cần mua, $z$ là số lạng rau cải xanh cần mua ($x, y, z \geq 0$).

Dựa vào các điều kiện định mức của gia đình, ta có hệ bất phương trình: \[ \begin{cases} x \geq 1, y \geq 1, z \geq 8 \\ 10x + y + z \leq 50 \\ 1200x + 500y + 100z \geq 4000 \end{cases} \]

2. Thiết lập hàm mục tiêu (Chi phí)

Đơn vị giá tiền tính theo nghìn đồng:

• Sữa tươi: $30$ nghìn/lít.
• Cá cơm: $200$ nghìn/kg = $20$ nghìn/lạng.
• Rau cải: $20$ nghìn/kg = $2$ nghìn/lạng.

Tổng chi phí cần tối thiểu hóa là: \[T = 30x + 20y + 2z \text{ (nghìn đồng). }\]

3. Biến đổi và đánh giá

Từ bất phương trình lượng Canxi:

\[1200x + 500y + 100z \geq 4000 \Leftrightarrow 12x + 5y + z \geq 40.\]

Nhân đôi hai vế để xuất hiện các hệ số gần với hàm chi phí: \[ 24x + 10y + 2z \geq 80 \]

Tách hàm chi phí $T$ theo biểu thức trên:

\[ T = 30x + 20y + 2z = (24x + 10y + 2z) + 6x + 10y \]

Thay các điều kiện tối thiểu $24x + 10y + 2z \geq 80$, $x \geq 1$, $y \geq 1$, ta được: \[ T \geq 80 + 6 \cdot 1 + 10 \cdot 1 = 96 \]

4. Xác định điểm rơi

Dấu "$=$" xảy ra khi: \[ \begin{cases} 12x + 5y + z = 40 \\ x = 1 \\ y = 1 \end{cases} \] \[\Rightarrow 12(1) + 5(1) + z = 40 \Rightarrow z = 23 \] Thử lại điều kiện khối lượng: \[10(1) + 1 + 23 = 34 \leq 50\] Thỏa mãn.

Kết luận

Để chi phí mua thực phẩm là nhỏ nhất ($96.000$ đồng) mà vẫn đảm bảo nhu cầu canxi, gia đình chị Hiền cần mua:

• Sữa tươi: $1$ lít.
• Cá cơm: $1$ lạng ($100$ g).
• Rau cải xanh: $23$ lạng ($2.3$ kg).