Giải bài toán thể tích vật thể tròn xoay paraboloid trong đề Sở Quảng Ninh

Hướng dẫn chi tiết cách tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân, thay đổi cách thiết lập hệ trục tọa độ Oxy để chuyển đổi tích phân từ dy sang dx.

Giải bài toán tính thể tích vật thể tròn xoay có liên quan paraboloid

Trong chương trình Giải tích lớp 12, việc tính thể tích vật thể tròn xoay quanh trục hoành là dạng toán phổ biến nhất. Dưới đây là cách chuyển đổi bài toán từ trục tung (Oy) sang trục hoành (Ox) để giúp học sinh dễ dàng áp dụng công thức tích phân cơ bản.

Đề bài toán

Một mô hình khối tròn xoay có trục là đường thẳng $MN$. Khi ta cắt khối tròn xoay đó bởi một mặt phẳng đi qua trục của khối tròn xoay thì ta được mặt cắt có dạng như hình vẽ.

Biết $MN = 24$ cm, $ABCD$ là hình chữ nhật có $AB = 18$ cm, $AD = 36$ cm. Hai cung $APD$ và $BQC$ là một phần của các đường Parabol với đỉnh lần lượt là $P, Q$ và $PQ = 10$ cm. Tính thể tích của mô hình đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Lời giải chi tiết

1. Thiết lập hệ trục tọa độ Oxy

Xoay ngang mặt cắt lại như sau:

Ta chọn hệ trục tọa độ như sau:

• Gốc tọa độ $O$ là giao điểm của $MN$ và $PQ$.
• Trục $Ox$ trùng với đường thẳng $MN$.
• Trục $Oy$ trùng với đường thẳng $PQ$.
• Dựa vào giả thiết $MN = 24$ cm, $PQ = 10$ cm và $AD = 36$ cm, ta xác định tọa độ các điểm:
  • $M(-12; 0)$, $N(12; 0)$.
  • $P(0; -5)$, $Q(0; 5)$.
  • Điểm $C$ có tọa độ $(18; 9)$.

2. Xác định phương trình đường biên

Cung Parabol (BQC):

Parabol có đỉnh là $Q(0; 5)$ và đi qua điểm $C(18; 9)$. Phương trình có dạng $y = ax^2 + 5$.

Thay tọa độ $C(18; 9)$ vào: \[9 = a(18)^2 + 5 \Rightarrow a = \frac{1}{81}.\]

Vậy phương trình cung Parabol phía trên trục $Ox$ là: \[ y = \frac{1}{81}x^2 + 5 \]

3. Thể tích khối Paraboloid quay quanh Ox

Thể tích tạo bởi cung Parabol quay quanh trục $Ox$ từ $x = -18$ đến $x = 18$ là:

\[ V_1 = \pi \int_{-18}^{18} \left( \frac{1}{81}x^2 + 5 \right)^2 dx = 1495,2\pi \]

4. Thể tích hai khối nón "khuyết" ở hai đầu

Theo hình vẽ, phần thực tế bị lõm vào bởi hai khối nón. Mỗi khối nón có đỉnh là $N(12; 0)$ (hoặc $M(-12;0)$), bán kính đáy $R = 9$ và chiều cao $h = 6$.

\[ V_{nón} = \frac{1}{3}\pi R^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 9^2 \cdot 6 = 162\pi \] \[ \Rightarrow V_2 = 2 \cdot V_{nón} = 324\pi \]

5. Kết quả cuối cùng

Thể tích thực của mô hình khối tròn xoay:

\[ V = V_1 - V_2 = 1495,2\pi - 324\pi = 1171,2\pi \approx 3679 \text{ (cm}^3\text{)}.\]

Đáp số và Nhận xét

Đáp số

$\boxed{3679}$

Nhận xét

Việc thay đổi góc nhìn từ trục đứng sang trục nằm ngang không chỉ giúp kết quả chính xác mà còn giúp học sinh lớp 12 tự tin hơn khi sử dụng các công thức tính thể tích bằng tích phân $dx$ đã học trên lớp.