Giải chi tiết bài toán số học về số nguyên tố và phương trình nghiệm nguyên dương. Kỹ thuật sử dụng hằng đẳng thức để đánh giá giá trị lớn nhất của p.
Tìm giá trị lớn nhất của số nguyên tố từ phương trình nghiệm nguyên
Đề bài số nguyên tố
[Đề thi chọn học sinh giỏi Toán lớp 9 - TP. Hồ Chí Minh - năm 2026]Cho $p$ là số nguyên tố sao cho phương trình $x^3 + y^3 - 3xy = p - 1$ có nghiệm nguyên dương. Tìm giá trị lớn nhất của $p$.
Lời giải chi tiết
1. Biến đổi phương trình về dạng tích
Từ phương trình đề bài, ta có: \[ x^3 + y^3 + 1 - 3xy = p \] Sử dụng hằng đẳng thức\[a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca),\]
phương trình tương đương với:\[ (x + y + 1)(x^2 + y^2 + 1 - xy - x - y) = p \]
2. Phân tích tính chất số nguyên tố
Vì $x, y \in \mathbb{Z}^+$ nên $x \geq 1, y \geq 1$. Suy ra $x + y + 1 \geq 3 > 1$.
Do $p$ là số nguyên tố, từ dạng tích ở trên ta bắt buộc phải có: \[ \begin{cases} x + y + 1 = p \\ x^2 + y^2 + 1 - xy - x - y = 1 \end{cases} \] Từ phương trình thứ hai, ta có: \[x^2 + y^2 - xy - x - y = 0.\]
3. Đánh giá và tìm giá trị lớn nhất
Xét hiệu giữa hai biểu thức:\[ (x^2 + y^2 + 1 - xy - x - y) - (x + y + 1) = x^2 + y^2 - xy - 2x - 2y \]
Ta có biến đổi sau:\[ x^2 + y^2 - xy - 2x - 2y = \frac{(x - y)^2 + (x - 2)^2 + (y - 2)^2 - 8}{2} \]
Thay các giá trị tương ứng vào:\[ 1 - p = \frac{(x - y)^2 + (x - 2)^2 + (y - 2)^2}{2} - 4 \]
Vì \[\frac{(x - y)^2 + (x - 2)^2 + (y - 2)^2}{2} \geq 0\] nên ta có: \[ 1 - p \geq -4 \Leftrightarrow p \leq 5 \]4. Thử lại
Với $p = 5$, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x = y = 2$.
Thay vào phương trình ban đầu:
\[2^3 + 2^3 - 3(2)(2) = 8 + 8 - 12 = 4.\]
Mà $p - 1 = 5 - 1 = 4$ (thỏa mãn).
Kết luận
Vậy giá trị lớn nhất của số nguyên tố $p$ là $\boxed{p = 5.}$
Nhận xét
Đây là một bài toán hay vận dụng hằng đẳng thức bổ trợ $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc=\cdots$. Điểm mấu chốt là nhận ra việc cộng thêm $1$ vào hai vế để đưa về dạng tích của một số nguyên tố, từ đó giới hạn được miền giá trị của $p$ thông qua các đại lượng bình phương không âm.
