Giải chi tiết bài toán chọn cách dán 6 tem vào 6 bì thư sao cho có ít nhất một bì trùng số. Sử dụng nguyên lý bù trừ và công thức số Derangement $D_n$
Bài toán dán tem thư: Ứng dụng hoán vị không có điểm cố định (Hoán vị lệch)
Đề bài
[Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 - KHTN lần 2]Có 6 bì thư được đánh số từ 1 đến 6 và 6 cái tem cũng được đánh số từ 1 đến 6. Người ta dán các tem thư vào các bì thư (mỗi thư chỉ dán 1 tem). Hỏi có bao nhiêu cách dán tem thư sao cho có ít nhất một bì thư được dán tem có số trùng với số trên bì thư.
Lời giải chi tiết (CÁCH 1)
1. Tính tổng số cách dán tem
Số cách dán 6 con tem khác nhau vào 6 bì thư khác nhau là hoán vị của 6 phần tử: \[ n(\Omega) = 6! = 720 \text{ (cách)} \]
2. Đếm số cách dán không có bì thư nào trùng số
Gọi $A$ là biến cố: "Có ít nhất một bì thư được dán tem trùng số". Biến cố đối $\overline{A}$ là: "Không có bì thư nào được dán tem trùng số". Đây chính là bài toán Hoán vị không có điểm cố định (Derangement) với $n = 6$.
Công thức tính số hoán vị không điểm cố định $D_n$: \[ D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right) \] Với $n = 6$, ta có: \[ D_6 = 6! \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} \right) \] \[ D_6 = 720 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} + \frac{1}{720} \right) \] \[ D_6 = 360 - 120 + 30 - 6 + 1 = 265 \text{ (cách)} \]
3. Tính số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán
Số cách dán có ít nhất một bì thư trùng số là: \[ n(A) = n(\Omega) - D_6 = 720 - 265 = 455 \text{ (cách)} \]
Kết luận
Vậy có tất cả $\boxed{455}$ cách dán tem thỏa mãn yêu cầu.
Bảng tra cứu số Derangement ($D_n$)
Số vật phẩm $n$, số cách dán sai hết $D_n$.| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $D_n$ | 0 | 1 | 2 | 9 | 44 | 265 |
Cách 2: Phương pháp đếm trực tiếp (Chia trường hợp)
Đối với các em học sinh chưa quen với công thức Derangement, chúng ta có thể sử dụng quy tắc cộng bằng cách chia nhỏ bài toán thành các trường hợp riêng biệt.
Yêu cầu: "Có ít nhất một bì trùng số" nghĩa là số bì trùng $k$ có thể nhận các giá trị $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Phân tích chi tiết từng trường hợp
Gọi $T_k$ là số cách dán sao cho có đúng $k$ bì thư trùng số (các bì còn lại đều sai). Công thức tổng quát: $T_k = C_6^k \times D_{6-k}$.
Có 6 trường hợp
- TH1: Đúng 1 bì trùng số ($k=1$)
Chọn 1 bì trùng: $C_6^1$ cách.
5 bì còn lại dán sai hết: $D_5 = 44$ cách.
$\implies T_1 = 6 \times 44 = 264$ cách. - TH2: Đúng 2 bì trùng số ($k=2$)
Chọn 2 bì trùng: $C_6^2 = 15$ cách.
4 bì còn lại dán sai hết: $D_4 = 9$ cách.
$\implies T_2 = 15 \times 9 = 135$ cách. - TH3: Đúng 3 bì trùng số ($k=3$)
Chọn 3 bì trùng: $C_6^3 = 20$ cách.
3 bì còn lại dán sai hết: $D_3 = 2$ cách.
$\implies T_3 = 20 \times 2 = 40$ cách. - TH4: Đúng 4 bì trùng số ($k=4$)
Chọn 4 bì trùng: $C_6^4 = 15$ cách.
2 bì còn lại dán sai hết: $D_2 = 1$ cách.
$\implies T_4 = 15 \times 1 = 15$ cách. - TH5: Đúng 5 bì trùng số ($k=5$)
Điều này là không thể (vì nếu 5 bì đã đúng thì bì thứ 6 bắt buộc phải đúng).
$\implies T_5 = 0$ cách. - TH6: Cả 6 bì trùng số ($k=6$)
Chỉ có duy nhất 1 cách dán đúng hoàn toàn.
$\implies T_6 = 1$ cách.
Tổng kết số cách thỏa mãn
Số cách dán có ít nhất một bì trùng số là: \[ \sum = T_1 + T_2 + T_3 + T_4 + T_5 + T_6 \] \[= 264 + 135 + 40 + 15 + 0 + 1 = \boxed{455} \]
Nhận xét
Cách 3: Sử dụng Nguyên lý bù trừ
Đây là phương pháp đếm "trực diện" bằng cách tính tổng các tập hợp có ít nhất $i$ thành phần cố định, sau đó dùng công thức đan dấu để triệt tiêu các phần tử bị đếm lặp. Cách này rất mạnh khi giải các bài toán tổ hợp phức tạp.
Phân tích chi tiết từng bước
Gọi $A_i$ là số cách dán mà có ít nhất $i$ thư được xếp đúng số (các thư còn lại hoán vị tự do). Ta có:
Tính từng $A_i$
- $A_1 = C_6^1 \times 5! = 720$: Chọn 1 bì đúng, 5 bì còn lại tùy ý.
- $A_2 = C_6^2 \times 4! = 360$: Chọn 2 bì đúng, 4 bì còn lại tùy ý.
- $A_3 = C_6^3 \times 3! = 120$: Chọn 3 bì đúng, 3 bì còn lại tùy ý.
- $A_4 = C_6^4 \times 2! = 30$: Chọn 4 bì đúng, 2 bì còn lại tùy ý.
- $A_5 = C_6^5 \times 1! = 6$: Chọn 5 bì đúng, 1 bì còn lại tùy ý.
- $A_6 = C_6^6 \times 0! = 1$: Cả 6 bì đều đúng.
