Hướng dẫn chi tiết chứng minh bất đẳng thức về tổng các ước chung lớn nhất $d_k = (a+k, b+k)$, dựa trên tính chất chia hết, phương pháp phản chứng.
Chứng minh bất đẳng thức về tổng Ước chung lớn nhất
Đề bài
[Câu 4 - Đề thi thử vào lớp 10 chuyên Sư phạm lần 1 năm 2026]Cho các số nguyên dương $a, b$ thỏa mãn $|a - b| > 2025^3$. Với mỗi số nguyên dương $k$, đặt $d_k$ là ước chung lớn nhất của hai số $a + k, b + k$. Chứng minh rằng: \[ d_1 + d_2 + \dots + d_{2026} < 2|a - b| \]
Lời giải
1. Thiết lập cơ sở đánh giá
Không mất tính tổng quát, giả sử $a > b$. Đặt $c = a - b$. Theo giả thiết, ta có $c > 2025^3$.
Ta có tính chất của ƯCLN: \[ d_k = (a + k, b + k) = (a - b, a + k) = (c, a + k) \] với mọi số nguyên dương $k$.
Vì $d_k$ là ước của $c$, ta có thể đặt $d_k = \frac{c}{t_k}$ với $t_k$ là một số nguyên dương.
2. Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
Giả sử tồn tại hai chỉ số phân biệt $1 \leq i < j \leq 2026$ sao cho \[d_i \geq \frac{c}{2025} \text{ và } d_j \geq \frac{c}{2025}.\] Điều này tương đương với $t_i, t_j \leq 2025$.
Ta xét ước chung của $d_i$ và $d_j$:
\[ (d_i, d_j) = ((a + i, c), (a + j, c)) \]
\[= (a + i, a + j, c) = (a + i, c, j - i) \]
Từ đó suy ra $(d_i, d_j) \leq j - i$.
Vì $1 \leq i < j \leq 2026$ nên $j - i \leq 2025$.
Mặt khác, ta có công thức: \[(d_i, d_j) = \left( \frac{c}{t_i}, \frac{c}{t_j} \right) = \frac{c}{[t_i, t_j]} \geq \frac{c}{t_i t_j} \geq \frac{c}{2025^2}.\]
Từ hai đánh giá trên, ta có: \[\frac{c}{2025^2} \leq 2025 \Rightarrow c \leq 2025^3.\] Điều này mâu thuẫn với giả thiết $c > 2025^3$.
Do đó, tồn tại tối đa 1 số $i \in \{1, 2, \dots, 2026\}$ sao cho $d_i \geq \frac{c}{2025}$, còn lại các $d_j < \frac{c}{2025}$ với mọi $j \neq i$.
3. Đánh giá tổng cuối cùng
Để ý rằng $d_i = (c, a + i) \leq c$. Khi đó, ta thực hiện đánh giá tổng: \[ d_1 + \dots + d_{2026}\] \[= (d_1 + \dots + d_{i-1} + d_{i+1} + \dots + d_{2026}) + d_i \] \[ < 2025 \cdot \frac{c}{2025} + c = 2c \] Thay $c = |a - b|$, ta có điều phải chứng minh: \[ d_1 + \dots + d_{2026} < 2|a - b| \]
Nhận xét
Mấu chốt của bài toán nằm ở việc giới hạn số lượng các ước "lớn" của $c$. Bằng cách chỉ ra rằng không thể có quá một giá trị $d_k$ vượt ngưỡng $\frac{c}{2025}$, ta đã có thể kiểm soát được tổng một cách hiệu quả.
