Chọn 3 số tự nhiên khác nhau từ 1 đến 26 xếp vào 3 góc sao cho tổng bình phương chia hết cho 5 và lời giải chi tiết (phân chia trường hợp theo modulo)
Tiếp tục chủ đề Tổ hợp - Xác suất, chúng ta sẽ chuyển sang một thử thách thú vị về tổ hợp trong kỳ thi thử năm 2026. Đây là ví dụ điển hình cho việc kết hợp giữa tư duy đếm và lý thuyết số dư (Modulo) để làm đơn giản hóa một bài toán phức tạp.
Bài toán sắp xếp thẻ số vào tam giác
Đề bài
[Đề thi thử tháng 3, Sở GD-ĐT Sơn La - Lần 1 - 2026]Cho hình vẽ bên gồm 4 tam giác. Người ta chọn 3 số phân biệt từ tập hợp $S = \{1; 2; \dots ; 26\}$ để xếp vào 3 tam giác ở 3 góc. Sau đó, tính tổng bình phương của 3 số đó rồi ghi kết quả vào tam giác còn lại ở giữa.
Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho số ghi ở tam giác giữa là một số chia hết cho 5?
Lời giải
1. Phân loại tập hợp theo thặng dư bình phương
Gọi 3 số được chọn ở 3 góc là $a, b, c$ ($a, b, c \in S$ và đôi một khác nhau).
Số ghi ở giữa là $T = a^2 + b^2 + c^2$. Để $T \vdots 5$, ta xét số dư của các bình phương khi chia cho $5$.
Chia tập hợp $S = \{1; 2; \dots ; 26\}$ thành 3 nhóm dựa trên $x^2 \pmod 5$:
- Nhóm A: $x^2 \equiv 0 \pmod 5$ (các số $x \vdots 5$). Gồm $\{5, 10, 15, 20, 25\} \rightarrow$ 5 số.
- Nhóm B: $x^2 \equiv 1 \pmod 5$ (các số $x \equiv 1, 4 \pmod 5$). Gồm $\{1, 4, 6, 9, 11, 14, 16, 19, 21, 24, 26\} \rightarrow$ 11 số.
- Nhóm C: $x^2 \equiv 4 \pmod 5$ (các số $x \equiv 2, 3 \pmod 5$). Gồm $\{2, 3, 7, 8, 12, 13, 17, 18, 22, 23\} \rightarrow$ 10 số.
2. Các trường hợp thỏa mãn điều kiện $a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \pmod 5$
Để tổng các số dư bằng $0$ hoặc chia hết cho $5$, ta có các khả năng sau:
TH1: Cả 3 số cùng thuộc Nhóm A
Khi đó: $0 + 0 + 0 \equiv 0 \pmod 5$.
Số cách chọn và xếp 3 số phân biệt từ 5 số nhóm A vào 3 vị trí là một chỉnh hợp chập 3 của 5:
\[ A_5^3 = 60 \text{ (cách)} \]TH2: Ba số thuộc ba nhóm khác nhau (A, B, C)
Khi đó: $0 + 1 + 4 = 5 \equiv 0 \pmod 5$.
- Chọn 1 số từ nhóm A: $5$ cách.
- Chọn 1 số từ nhóm B: $11$ cách.
- Chọn 1 số từ nhóm C: $10$ cách.
- Xếp 3 số đã chọn vào 3 góc của tam giác: $3! = 6$ cách.
Số cách xếp là: \[5 \times 11 \times 10 \times 6 = 3300 \text{ (cách)}.\]
Kết luận
Tổng số cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
\[ 60 + 3300 = \boxed{3360 \text{ (cách)}} \]Nhận xét
Trong bài toán này, việc sử dụng Modulo giúp ta thu hẹp phạm vi từ 26 số xuống còn 3 loại số dư. Điểm cần lưu ý nhất là tính chất "phân biệt" của các số và việc xếp chúng vào các vị trí khác nhau (tương ứng với bài toán chỉnh hợp hoặc quy tắc nhân có thứ tự).
Mở rộng (Tổ hợp & Số học)
Câu hỏi suy ngẫm
Nếu bài toán thay đổi tập $S$ có số lượng phần tử lớn hơn (ví dụ $n=100$) hoặc thay đổi điều kiện chia hết (ví dụ chia hết cho 3), phương pháp phân nhóm theo số dư vẫn là tối ưu nhất.
Bài tập tự luyện
Cho tập $S = \{1, 2, \dots, 30\}$. Có bao nhiêu cách chọn ra ba số phân biệt sao cho tổng của chúng chia hết cho $3$?
Đáp án bài tập tự luyện
