Giải chi tiết câu bất đẳng thức đề minh họa Toán chuyên PTNK 2026

Hướng dẫn giải chi tiết câu Bất đẳng thức trong đề thi minh họa vào lớp 10 Toán chuyên trường PTNK 2026 - 2027. Bài viết trình bày 2 cách giải hay gặp

Câu bất đẳng thức tuyển sinh lớp 10 PTNK 2026 - Toán chuyên

Tiếp nối chuỗi bài viết giải đề thi vào lớp 10 các trường chuyên, MathVN xin gửi tới bạn đọc lời giải chi tiết cho câu hỏi về Bất đẳng thức (Bài 2) trong đề minh họa của trường Phổ thông Năng khiếu năm học 2026 - 2027. Dưới đây là hai cách tiếp cận thường gặp cho dạng toán bất đẳng thức này.

Đề bài Bất đẳng thức (Bài 2)

Bài 2. (1.5 điểm)

Cho hai số thực không âm \(a, b\) thỏa mãn \(a + b = 2\). Chứng minh rằng:

\[ \frac{7}{2} \le \frac{1}{a^3 + b^3} + \frac{3}{ab} \le \frac{7}{2ab} \]

Đề gốc

$\rightarrow$ Nên cho giả thiết $a,b$ là hai số thực dương.

Hướng dẫn giải chi tiết (CÁCH 1)

Trong lời giải này, ta sử dụng giả thiết $a,b$ là hai số thực dương.

1. Biến đổi biểu thức theo tích \(ab\)

Xét biểu thức \[P = \dfrac{1}{a^3 + b^3} + \dfrac{3}{ab}.\] Với \(a, b > 0\) và \(a + b = 2\), ta có:

\[ a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) = 2^3 - 3ab(2) = 8 - 6ab \]

Đặt \(t = ab\). Ta có: \[0 < ab \le \left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2 = 1.\] Vậy điều kiện của biến là \(0 < t \le 1\).

Khi đó, biểu thức \(P\) trở thành:

\[ P = \frac{1}{8-6t} + \frac{3}{t} = \frac{t + 3(8-6t)}{t(8-6t)} = \frac{24-17t}{8t-6t^2} \]

2. Chứng minh vế phải (Vế \(\le \frac{7}{2ab}\))

Ta cần chứng minh:

\[ \frac{24-17t}{2(4t-3t^2)} \le \frac{7}{2t} \] \[ \iff \frac{24-17t}{4-3t} \le 7 \quad (\text{do } t > 0) \] \[ \iff 24-17t \le 7(4-3t)\] \[ \iff 24-17t \le 28-21t \] \[ \iff t \le 1 \quad (\text{luôn đúng}) \]

Dấu "$=$" xảy ra khi \(t = 1 \iff a = b = 1\).

3. Chứng minh vế trái (Vế \(\ge \frac{7}{2}\))

Ta cần chứng minh:

\[ \frac{24-17t}{8t-6t^2} \ge \frac{7}{2} \] \[\iff 2(24-17t) \ge 7(8t-6t^2) \] \[ \iff 48 - 34t \ge 56t - 42t^2\] \[ \iff 42t^2 - 90t + 48 \ge 0 \]

Chia cả hai vế cho 6:

\[ 7t^2 - 15t + 8 \ge 0 \iff (t-1)(7t-8) \ge 0 \]

Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì \(0 < t \le 1\) suy ra \(t-1 \le 0\) và \[7t-8 \le 7(1)-8 = -1 < 0.\]

4. Kết luận:

 

Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 1\).

Tiếp theo xin giới thiệu cách giải trong đáp án chính thức của Trường cho bài toán này.

Cách 2: Sử dụng đánh giá trực tiếp (Đáp án của Trường)

Cách giải này tập trung vào việc sử dụng các bất đẳng thức cơ bản để chứng minh từng vế của bài toán.

1. Chứng minh vế phải:

\[\dfrac{1}{a^3 + b^3} + \dfrac{3}{ab} \le \dfrac{7}{2ab}\]

Ta có: \(a^2 + b^2 \ge 2ab\). (0.25đ)

Khi đó:

\[ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) = 2(a^2 - ab + b^2) \ge 2(2ab - ab) = 2ab \]

Suy ra:

\[ \frac{1}{a^3 + b^3} + \frac{3}{ab} \le \frac{1}{2ab} + \frac{3}{ab} = \frac{7}{2ab} \quad (\text{đúng}) \]

(0.25đ)

2. Chứng minh vế trái:

\[\dfrac{1}{a^3 + b^3} + \dfrac{3}{ab} \ge \dfrac{7}{2}\]

Ta lại có: \(a^3 + b^3 = (a+b)^3 - 3ab(a+b) = 8 - 6ab\). (0.25đ)

Suy ra biểu thức trở thành: \(\dfrac{1}{8 - 6ab} + \dfrac{3}{ab}\).

Đặt \(t = ab \Rightarrow t \in [0, 1]\). (0.25đ)

Ta cần chứng minh:

\[ \frac{1}{8 - 6t} + \frac{3}{t} \ge \frac{7}{2} \iff 2(t + 24 - 18t) \ge 7t(8 - 6t) \] \[ \iff 48 - 34t \ge 56t - 42t^2 \iff 42t^2 - 90t + 48 \ge 0 \]

(0.25đ)

Biến đổi tương đương:

\[ \iff 6(t-1)(7t-8) \ge 0 \]

Khẳng định này đúng vì với \(t \in [0, 1]\) thì \((t-1) \le 0\) và \((7t-8) < 0\). (0.25đ)

Nhận xét:

 

Cách giải thứ hai từ đáp án của trường cho thấy một hướng đi rất gọn gàng bằng cách sử dụng trực tiếp đánh giá \(a^2+b^2 \ge 2ab\). Đây là kinh nghiệm quý báu để các em tiết kiệm thời gian khi làm bài thi chuyên.