Kỹ thuật biến đổi biểu thức không đối xứng và áp dụng định lí Vi-ét

Kỹ thuật biến đổi biểu thức không đối xứng đối với hai nghiệm của phương trình bậc 2, hạ bậc nghiệm và áp dụng định lí Vi-ét để tính giá trị biểu thức

Kỹ thuật biến đổi biểu thức không đối xứng áp dụng Vi-ét

Trong các đề thi tuyển sinh lớp 10, dạng toán Vi-ét chứa căn thức và biểu thức không đối xứng xuất hiện với tần suất cao. Kỹ thuật quan trọng nhất là sử dụng phương trình gốc để "hạ bậc" hoặc "biến đổi tương đương" các cụm dưới dấu căn.

Ví dụ minh họa

[Đề thi vào lớp 10 tỉnh Hải Dương 2025-2026]

Đề bài. Cho phương trình $2x^2 - 10x + 3 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ với $x_1 > x_2$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức: \[ T = \frac{\sqrt{24x_1 - 5} + 2x_2 + 2026}{25 - 2x_1 - 8x_2} \]

Lời giải chi tiết

Phương trình đã cho có $ac = 2.3 = 6 > 0$ và $\Delta' = (-5)^2 - 2.3 = 19 > 0$. Theo định lí Vi-ét: \[ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1x_2 = \frac{3}{2} \end{cases} \Rightarrow x_1, x_2 > 0 \]

1. Biến đổi tử thức (Đặt là $A$)

Vì $x_1$ là nghiệm nên $2x_1^2 - 10x_1 + 3 = 0 \Leftrightarrow 4x_1^2 - 20x_1 + 6 = 0$.

Để xuất hiện cụm dưới dấu căn $24x_1 - 5$, ta biến đổi:

\[ 4x_1^2 + 4x_1 + 1 = 24x_1 - 5 \Leftrightarrow (2x_1 + 1)^2 = 24x_1 - 5 \]

Do $x_1 > 0$ nên $\sqrt{24x_1 - 5} = \sqrt{(2x_1 + 1)^2} = 2x_1 + 1$. Thay vào tử thức:

\[ A = (2x_1 + 1) + 2x_2 + 2026 = 2(x_1 + x_2) + 2027 \] \[ A = 2 \cdot 5 + 2027 = 2037 \]

2. Biến đổi mẫu thức (Đặt là $B$)

\[ B = 25 - 2x_1 - 8x_2 = 5(5 - x_2) - 2x_1 - 3x_2 \]

Thay $5 = x_1 + x_2$ vào biểu thức:

\[ B = 5x_1 - 2x_1 - 3x_2 = 3(x_1 - x_2) = 3\sqrt{(x_1 - x_2)^2} \] \[ B = 3\sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2} = 3\sqrt{5^2 - 4 \cdot \frac{3}{2}} = 3\sqrt{19} \]

3. Tính giá trị $T$

\[ T = \frac{A}{B} = \frac{2037}{3\sqrt{19}} = \frac{679}{\sqrt{19}} = \boxed{\frac{679\sqrt{19}}{19}} \]

Bài tập tự luyện

Đề bài

[Đề vào lớp 10 Sở GD&ĐT Nam Định 2025-2026]

Cho phương trình $x^2 + 9x + 2 = 0$ có hai nghiệm âm phân biệt $x_1, x_2$. Không giải phương trình, hãy tính giá trị biểu thức: \[ M = \sqrt{-13x_1 + 2} - x_2 \]

Hướng dẫn nhanh

Bước 1: Từ phương trình gốc \[x_1^2 + 9x_1 + 2 = 0 \Rightarrow x_1^2 - 4x_1 + 4 = -13x_1 + 2\] hay \[-13x_1 + 2 = (x_1-2)^2.\]

Bước 2: Kết hợp điều kiện nghiệm âm để phá dấu giá trị tuyệt đối khi khai căn.

\[M=2-(x_1+x_2)=2-(-9)=11.\]

Ghi chú

Biểu thức $M$ (gốc) trông không đối xứng đối với các nghiệm, nhưng giá trị lại không thay đổi khi ta hoán đổi $x_1$ và $x_2$ cho nhau.