Tìm nghiệm nguyên x^4+4x+1=5^y đề khảo sát năng lực lớp 9 Chuyên KHTN. Lời giải sử dụng xét chẵn lẻ và kỹ thuật kẹp giữa hai bình phương liên tiếp.
Trong đề khảo sát năng lực lớp 9 của Trường THPT Chuyên KHTN năm học 2025–2026 xuất hiện một bài toán tìm nghiệm nguyên khá thú vị.
Bài toán yêu cầu tìm các cặp số nguyên thỏa mãn phương trình \(x^4+4x+1=5^y\). Lời giải chính thức của trường sử dụng lập luận về tính chẵn lẻ kết hợp kỹ thuật kẹp giữa hai bình phương liên tiếp.
Dưới đây là đề bài và lời giải chi tiết.
Đề bài
[Bài toán thuộc Câu II của đề KSNL lớp 9 môn Toán (chuyên) của Trường Chuyên KHTN 2026]
Tìm tất cả các cặp số nguyên \((x,y)\) thỏa mãn
\[ x^4+4x+1=5^y \]Lời giải
Bước 1. Xét điều kiện của \(y\)
Nếu \(y<0\) thì \(5^y\) không phải là số nguyên, trong khi vế trái là số nguyên nên loại. Do đó
\[ y\ge0 \]Bước 2. Xét tính chẵn lẻ của \(x\)
Vì \(5^y\) là số lẻ nên \(x^4+4x\) là số chẵn. Do đó \(x\) phải là số chẵn.
Bước 3. Chứng minh \(y\) là số chẵn
Giả sử \(y=2k+1\) là số lẻ. Khi đó
\[ 5^y=5\cdot25^k\equiv5 \pmod 8 \]Trong khi \(x\) chẵn nên
\[ x^4\equiv0\pmod8,\quad 4x\equiv0\pmod8 \]suy ra
\[ x^4+4x+1\equiv1\pmod8 \]mâu thuẫn. Vậy \(y\) phải là số chẵn.
Bước 4. Xét các giá trị nhỏ của \(x\)
Với \(x=0\):
\[ x^4+4x+1=1=5^0 \]suy ra \(y=0\).
Với \(x=2\):
\[ x^4+4x+1=16+8+1=25=5^2 \]suy ra \(y=2\).
Với \(x=-2\):
\[ x^4+4x+1=16-8+1=9\ne5^y \]nên loại.
Bước 5. Trường hợp \(|x|\ge4\)
Vì \(y\) chẵn nên \(5^y\) là số chính phương.
Ta có
\[ (x^2+1)^2-(x^4+4x+1)=2x(x-2)>0 \] \[ (x^4+4x+1)-(x^2-1)^2=2x(x+2)>0 \]suy ra
\[ (x^2-1)^2<x^4+4x+1<(x^2+1)^2. \]Do đó \(x^4+4x+1\) nằm giữa hai bình phương liên tiếp nên không thể là số chính phương, mâu thuẫn.
