Đường chạy của tàu lượn siêu tốc khi gắn hệ trục tọa độ Oxy được mô phỏng hàm số bậc ba, tìm độ cao lớn nhất mà tàu lượn đạt được so với mặt đất
Bài toán
Một phần đường chạy của tàu lượn siêu tốc khi gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ (đơn vị mét ($\text{m}$)) được mô phỏng như hình vẽ. Biết đường chạy là một phần đồ thị hàm số bậc ba \[ y=ax^3+bx^2+cx+d \quad (0\le x<90). \] Tàu xuất phát từ điểm $A$, đi qua các điểm $C, D$ (với $A, C, D$ cùng nằm trên đường thẳng song song với trục $Ox$), đồng thời đạt độ cao nhỏ nhất so với mặt đất là $5\,\text{m}$. Hỏi độ cao lớn nhất mà tàu lượn đạt được là bao nhiêu mét? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Lời giải
Từ hình vẽ ta có: \[ A(0;30), \quad C(50;30), \quad D(80;30). \] Suy ra: \[ f(0)=f(50)=f(80)=30. \] Vì $f(x)$ là hàm bậc ba nên ta đặt \[ f(x)=k\,x(x-50)(x-80)+30. \] Xét \[ g(x)=x(x-50)(x-80)=x^3-130x^2+4000x. \] Ta có: \[ g'(x)=3x^2-260x+4000. \] Giải phương trình $g'(x)=0$: \[ 3x^2-260x+4000=0 \Leftrightarrow x=20 \vee x=\frac{200}{3}. \] và ta có \[ g(20)=36000, \quad g\!\left(\frac{200}{3}\right) =\frac{-400000}{27}. \] Theo giả thiết độ cao nhỏ nhất bằng $5\,\text{m}$ nên: \[ f(20)=5 \Leftrightarrow 36000k+30=5 \Leftrightarrow k=-\frac{1}{1440}. \] Tính giá trị cực đại: \[\begin{aligned} f_{\max} &= f\!\left(\frac{200}{3}\right)=k\,g\!\left(\frac{200}{3}\right)+30\\ &= -\frac{1}{1440}\cdot\frac{-400000}{27}+30\\ &= \frac{2500}{243}+30\approx 40{,}288. \end{aligned} \]Kết luận
Vậy độ cao lớn nhất mà tàu lượn siêu tốc đạt được so với mặt đất là \[ \boxed{40{,}3\ \text{m}}. \]
