Cho tấm bìa hình ngũ giác đều cạnh 30cm. Cắt bỏ 5 tam giác cân bằng nhau. Gấp lại thành hình chóp ngũ giác đều. Tính thể tích lớn nhất của khối chóp
Đề bài
Cho tấm bìa hình ngũ giác đều \(MNPQR\) cạnh \(30\,\text{cm}\). Cắt bỏ \(5\) tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là các cạnh của ngũ giác đều ban đầu, đỉnh là các đỉnh của một ngũ giác đều \(ABCDE\) cạnh \(x,\) \((0<x <30)\). Gấp phần còn lại để được một hình chóp ngũ giác đều. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp ngũ giác đều đó.
Lời giải
1) Bán kính đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều lớn (cạnh \(30\) cm): \[ R_0 = \frac{30}{2\sin36^\circ} = \frac{15}{\sin36^\circ} \] 2) \(x\) là cạnh ngũ giác đều nhỏ (đáy hình chóp). Bán kính đường tròn nội tiếp ngũ giác đều nhỏ: \[ r = \frac{x}{2\tan36^\circ} \] 3) Chiều cao mặt bên hình chóp (nhìn từ đỉnh): \[ h_0 = R_0 - r = \frac{15}{\sin36^\circ} - \frac{x}{2\tan36^\circ} \] 4) Chiều cao hình chóp: \[ h = \sqrt{h_0^2 - r^2}=\frac{1}{\sin36^\circ} \sqrt{225 - 15x\cos36^\circ} \] 5) Diện tích đáy hình chóp (ngũ giác đều nhỏ): \[ S_đ = \frac{5}{4}x^2 \cot36^\circ \] 6) Thay vào hàm thể tích: \[ \begin{aligned} V(x)&=\frac13S_đ\cdot h\\ &=\frac{5}{12} x^2 \frac{\cot36^\circ}{\sin36^\circ} \sqrt{225 - 15x\cos36^\circ}\\ &=\frac{5\cos36^\circ}{12\sin^2 36^\circ} x^2\sqrt{225 - 15x\cos36^\circ}. \end{aligned} \] Đạo hàm và tìm nghiệm \[ V'(x)=0 \Leftrightarrow x = \frac{12}{\cos36^\circ} \in (0;30). \] Kẻ bảng biến thiên, ta tìm được giá trị lớn nhất của \(V(x)\) trên khoảng \((0;30)\) là \[ V_{\max}=1440 \ \text{ đạt được tại } x = \frac{12}{\cos36^\circ}. \]Đáp số
\(\boxed{1440} \text{ cm}^3.\)
