Tính thể tích hồ bơi vô cực bằng tích phân - Toán thực tế lớp 12

Giải chi tiết bài toán thể tích lớn nhất của hồ bơi vô cực bằng tích phân – trích đề thi thử toán Sở GD Nghệ An 2026 lần 1, kết quả bao nhiêu mét khối

Thể tích hồ bơi vô cực – Bài toán tích phân thực tế (Sở Nghệ An 2026)

Bài toán mô hình hóa hồ bơi vô cực là một ví dụ điển hình của việc ứng dụng tích phân trong thực tế. Ta cần xác định miền đáy và thiết lập tích phân để tính thể tích dựa trên độ sâu thay đổi theo vị trí.

Đề bài hồ bơi vô cực

Đề gốc

[Đề thi thử toán lần 1 năm 2026 - Sở GD-ĐT tỉnh Nghệ An]

Đề tinh gọn

Mặt trên của hồ nằm trên mặt phẳng \(Oxy\). Các cạnh của hồ:

• Một cạnh dài 12 m nằm trên trục \(Ox\)
• Một cạnh nằm trên trục \(Oy\)
• Một cạnh nằm trên đường thẳng \(x=12\)
• Cạnh còn lại là đồ thị:

\[ y = -\frac{1}{18}x^2 + \frac{2}{3}x + 4 \]

Độ sâu tại điểm \((a;b)\):

\[ h(a) = \frac{1}{4}a + 1 \]

Tính thể tích nước tối đa của hồ bơi vô cực.

Lời giải

1. Ý tưởng

Thay vì tính trực tiếp thể tích toàn bộ hồ (bằng tích phân kép), ta xét thể tích phần hồ từ \(x=0\) đến \(x=a\) (với \(0 \le a \le 12\)).

Khi đó thể tích trở thành một hàm theo biến \(a\):

\[ V(a) = \int_0^a f(x)\cdot h(x)\,dx \]

Trong đó:

\[ f(x) = -\frac{1}{18}x^2 + \frac{2}{3}x + 4,\quad h(x) = \frac{1}{4}x + 1 \]

2. Lập biểu thức hàm thể tích

\[ V(a) = \int_0^a \left(-\frac{1}{18}x^2 + \frac{2}{3}x + 4\right)\left(\frac{1}{4}x + 1\right) dx \]

Khai triển:

\[ V(a)= \int_0^a \left(-\frac{1}{72}x^3 + \frac{1}{9}x^2 + \frac{5}{3}x + 4\right) dx \]

Tính nguyên hàm:

\[ V(a) = -\frac{1}{288}a^4 + \frac{1}{27}a^3 + \frac{5}{6}a^2 + 4a \]

3. Xét sự biến thiên của \(V(a)\)

Lấy đạo hàm:

\[ V'(a) = -\frac{1}{72}a^3 + \frac{1}{9}a^2 + \frac{5}{3}a + 4 \]

Nhận xét:

\[ V'(a) = f(a)\cdot h(a) \]

Vì:

• \(f(a) > 0\) trên đoạn \([0,12]\)
• \(h(a) > 0\) trên đoạn \([0,12]\)

Suy ra:

\[ V'(a) > 0 \quad \forall a \in [0,12] \]

4. Kết luận

Do \(V(a)\) tăng trên \([0,12]\), nên thể tích lớn nhất đạt tại \(a=12\).

\[ V_{\max} = V(12) = 160 \]

5. Đáp số

Thể tích lớn nhất của hồ bơi vô cực là:

\( \boxed{\mathbf{160}\ \text{m}^3} \)

Nhận xét

Đây là phương pháp dùng cho chương trình lớp 12: biến bài toán tích phân thành bài toán khảo sát hàm số, giúp tránh dùng tích phân kép. Nhưng nếu biết dùng tích phân kép thì sẽ giải nhanh hơn trong khi làm bài trắc nghiệm.

\[ V = \int_0^{12} \left( \int_0^{f(x)} dy \right) h(x)\,dx = \int_0^{12} f(x)\cdot h(x)\,dx \] \[ V= \int_0^{12} \left(-\frac{1}{18}x^2 + \frac{2}{3}x + 4\right)\left(\frac{1}{4}x + 1\right) dx = \boxed{160}. \]