Tính thể tích mặt dây chuyền hình giọt nước bằng tích phân. Sử dụng phương trình đường tròn, đường thẳng và tích phân để tính thể tích và khối lượng
Các bài toán thể tích khối tròn xoay là một ứng dụng quan trọng của tích phân trong chương trình Toán 12. Nhiều bài toán thực tế như thiết kế trang sức, vật thể tròn xoay hoặc mô hình công nghiệp đều có thể được mô tả bằng đồ thị hàm số.
Trong bài viết này, chúng ta xét một mô hình mặt dây chuyền hình giọt nước được tạo bởi cung tròn và đoạn thẳng, từ đó tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân.
Bài toán thể tích mặt dây chuyền hình giọt nước
Giới thiệu
Bài toán thực tế này thuộc phần II - trắc nghiệm đúng sai - trong đề thi thử tốt nghiệp THPT tháng 3/2026 cụm trường THPT, GDTX ở tỉnh Bắc Ninh.
Hình dạng của một mặt dây chuyền được mô phỏng bằng một cung tròn kết hợp với một đoạn thẳng, khi quay quanh trục sẽ tạo thành khối tròn xoay có dạng hình giọt nước.
Chúng ta sẽ sử dụng phương trình đường tròn, phương trình đường thẳng và tích phân để phân tích các mệnh đề liên quan đến hình dạng và thể tích của vật thể.
Đề bài
Nhân dịp 8/3, bạn An tặng bạn Bình một sợi dây chuyền có mặt là khối tròn xoay hình giọt nước làm bằng đá Moissanite (tham khảo Hình 1).
Gắn hệ tọa độ \(Oxy\) (đơn vị trên mỗi trục là \(5mm\)). Gọi \(f(x)\) là hàm số có đồ thị gồm đoạn thẳng \(CD\) và một phần đường tròn tâm \(O\), bán kính bằng \(1\) đi qua ba điểm \(A,B,C\) (tham khảo Hình 2).
Hãy xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Đường cong qua ba điểm \(A,B,C\) có phương trình
\[ y=\sqrt{1-x^2}\quad (-1\le x\le \tfrac13) \]
b) Đoạn thẳng \(CD\) có phương trình
\[ y=-\frac{\sqrt2}{4}x+\frac{3\sqrt2}{4}\quad \left(\tfrac13\le x\le3\right) \]
c) Thể tích mặt dây chuyền lớn hơn \(5.5\,cm^3\).
d) Biết khối lượng riêng của đá Moissanite là \( \rho=3.2\,g/cm^3\), khi đó khối lượng của mặt dây chuyền là \(2.2g\) (làm tròn đến hàng phần chục).
Cách tính thể tích khối tròn xoay bằng tích phân
Lời giải
a) Phương trình cung tròn
Đường tròn tâm \(O\) bán kính \(1\) có phương trình
\[ x^2+y^2=1 \]
Kết hợp với $y\ge 0$, suy ra
\[ y=\sqrt{1-x^2}=f(x) \]
Phần đồ thị đi qua các điểm \(A,B,C\) ứng với
\[ -1\le x\le\frac13 \]
Mệnh đề a đúng.
b) Phương trình đoạn thẳng \(CD\)
Tọa độ hai điểm:
\[ C\left(\tfrac13,\tfrac{2\sqrt2}{3}\right),\quad D(3,0) \]
Hệ số góc:
\[ k=\frac{0-\frac{2\sqrt2}{3}}{3-\frac13}=-\frac{\sqrt2}{4}. \]
Suy ra phương trình đoạn $CD$
\[ y=-\frac{\sqrt2}{4}x+\frac{3\sqrt2}{4}=g(x), \ \left(\tfrac13\le x\le3\right). \]
Mệnh đề b đúng.
c) So sánh thể tích
Khi quay quanh trục \(Ox\), thể tích được tính bằng công thức
\[ V=\pi\int_a^b y^2dx \]
Thể tích gồm hai phần:
\[ V=\pi\int_{-1}^{1/3}[f(x)]^2dx+\pi\int_{1/3}^{3}[g(x)]^2dx \]Do mỗi đơn vị trên trục ứng với \(5\,mm=0.5\,cm\) nên \[ 1\text{ đơn vị}^3=(0.5)^3=0.125\,cm^3 \] Suy ra thể tích thực tế: \[ V=\frac{16\pi}{9}\times0.125\approx0.698\,cm^3 \]
Vì
\[ 0.698<5.5 \]
nên khẳng định thể tích lớn hơn \(5.5cm^3\) là sai.
Mệnh đề c sai.
d) Tính thể tích khối tròn xoay
Thể tích đã tính:
\[ V\approx0.698\,cm^3 \]
Khối lượng riêng của đá Moissanite:
\[ \rho=3.2\,g/cm^3\]Khối lượng của mặt dây chuyền:
\[ m=\rho V=3.2\times0.698\approx2.2g \]
Mệnh đề d đúng.
Kết luận
Tổng hợp kết quả đúng/sai:
- a) Đúng
- b) Đúng
- c) Sai
- d) Đúng
