Bài toán hình học không gian: từ góc giữa hai mặt phẳng của hình chóp suy ra tam giác vuông cân và tính thể tích viên đá quý hình tứ diện đều.
Bài toán hình học không gian dưới đây kết hợp nhiều ý tưởng đẹp: góc giữa hai mặt phẳng, tam giác vuông cân và tính chất của tứ diện đều. Từ cấu trúc hình chóp ban đầu, ta khai thác khoảng cách giữa hai cạnh đối diện để tính thể tích của viên đá quý có hình dạng tứ diện đều.
Đề bài
Tại buổi triển lãm, một viên đá quý được trưng bày trên giá đỡ có dạng hình chóp $S.ABC$, đáy là tam giác $ABC$ cân tại $B$ nằm trên mặt bàn và $SA$ vuông góc với mặt bàn. Viên đá quý có hình dạng một khối tứ diện đều có hai cạnh đối lần lượt nằm trên hai đường thẳng chứa cạnh $SC$ và đường cao $AH$ của tam giác $SAB$ như hình vẽ. Biết $AB = 5 \text{ cm}$, góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ bằng $60^\circ$.
b) Tính thể tích của viên đá quý.
a) Chứng minh tam giác \(ABC\) vuông cân
1. Xét tính vuông góc
Vì $SA \perp (ABC)$ nên suy ra $SA \perp BC$.
Trong tam giác $SAB$, vì $AH$ là đường cao nên ta có $AH \perp SB$.
2. Sử dụng điều kiện $SC \perp AH$
Theo giả thiết về viên đá quý là hình tứ diện đều, hai cạnh đối diện luôn vuông góc với nhau, do đó $AH \perp SC$.
Từ $AH \perp SB$ và $AH \perp SC$, ta suy ra $AH \perp (SBC)$.
Vì $BC \subset (SBC)$, nên $AH \perp BC$.
3. Kết luận tam giác $ABC$ vuông cân
Ta đã có $BC \perp SA$ và $BC \perp AH$, suy ra $BC \perp (SAB)$.
Vì $AB \subset (SAB)$ nên $BC \perp AB$, do đó tam giác $ABC$ vuông tại $B$.
Kết hợp với giả thiết đề bài cho tam giác $ABC$ cân tại $B$, ta kết luận được tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$.
b) Thể tích viên đá quý
1. Tính các kích thước cơ bản
Từ dữ kiện góc giữa hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$ bằng $60^\circ$, ta tính được chiều cao của hình chóp là $SA = 5 \text{ cm}$.
Khi đó, tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$, suy ra $$AH = \frac{SA \cdot AB}{\sqrt{SA^2 + AB^2}} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \text{ cm}.$$
2. Xác định cạnh của tứ diện đều
Trong tứ diện đều, khoảng cách giữa hai cạnh đối diện bằng $\dfrac{a}{\sqrt{2}}$, với $a$ là độ dài cạnh của tứ diện.
Khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AH$ và $SC$ chính là khoảng cách từ điểm $H$ đến đường thẳng $SC$.
Do $H$ là trung điểm của $SB$ nên khoảng cách này là $$d = \frac{1}{2} d(B,SC) = \frac{5\sqrt{6}}{6} \text{ cm}.$$
(Tính chiều cao xuất phát từ $B$ của tam giác $SBC$ vuông tại $B$).
Suy ra: $$\frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{6}}{6} \Rightarrow a = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ cm}.$$
3. Kết quả thể tích
Thể tích của viên đá quý (hình tứ diện đều cạnh $a$) được tính bằng công thức: $$V = \frac{a^3\sqrt{2}}{12} = \frac{(\frac{5\sqrt{3}}{3})^3 \sqrt{2}}{12} $$ $$= \frac{125\sqrt{6}}{108} \approx2,83\text{ cm}^3.$$
