Tính xác suất để số có 4 chữ số chia hết cho 3

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ 1,2,...8. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S. Tính xác suất để số đó chia hết cho 3. Giải

Xác suất để số có 4 chữ số chia hết cho 3

Đề bài

[Đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 · Lần 1 - Sở GD-ĐT tỉnh Hưng Yên]

Cho tập hợp \( X = \{1;2;3;4;5;6;7;8\} \). Gọi \( S \) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập \( X \). Chọn ngẫu nhiên một số từ tập \( S \). Tính xác suất để chọn được một số chia hết cho $3.$

Lời giải

Chia các số thuộc $X$ theo phần dư khi chia cho $3$:

- Dư 0: \( \{3,6\} \) có 2 số.
- Dư 1: \( \{1,4,7\} \) có 3 số.
- Dư 2: \( \{2,5,8\} \) có 3 số.

Tổng số phần tử của không gian mẫu

\[ n(\Omega) = 8^4 = 4096 \]

Điều kiện một số chia hết cho 3

Điều kiện để một số chia hết cho $3$: tổng các chữ số của số đó chia hết cho $3.$

Số cần tìm gồm:

\( k_0 \) chữ số thuộc nhóm dư 0
\( k_1 \) chữ số thuộc nhóm dư 1
\( k_2 \) chữ số thuộc nhóm dư 2

Số cần tìm có 4 chữ số nên ta có:

\[ k_0 + k_1 + k_2 = 4 \]

Số cần tìm chia hết cho $3$ nên:

\[ k_0\cdot 0+k_1\cdot 1+k_2\cdot 2= k_1 + 2k_2 \equiv 0 \pmod{3} \]

Liệt kê các trường hợp

Các bộ \( (k_1, k_2) \) thỏa mãn:

\[ (0,0), (1,1), (2,2), (3,0), (0,3) \]

Tính số trường hợp thuận lợi

Công thức:

\[ \frac{4!}{k_0!k_1!k_2!} \cdot 2^{k_0} \cdot 3^{k_1} \cdot 3^{k_2} \]

1. Trường hợp \( (0,0) \Rightarrow k_0 = 4 \)

\[ 2^4 = 16 \]

2. Trường hợp \( (1,1) \Rightarrow k_0 = 2 \)

\[ \frac{4!}{2!1!1!} \cdot 2^2 \cdot 3 \cdot 3 = 432 \]

3. Trường hợp \( (2,2) \Rightarrow k_0 = 0 \)

\[ \frac{4!}{2!2!} \cdot 3^2 \cdot 3^2 = 486 \]

4. Trường hợp \( (3,0) \Rightarrow k_0 = 1 \)

\[ \frac{4!}{1!3!} \cdot 2 \cdot 3^3 = 216 \]

5. Trường hợp \( (0,3) \Rightarrow k_0 = 1 \)

\[ 216 \]

Tổng số trường hợp thuận lợi: \[ n(A) = 16 + 432 + 486 + 216 + 216 = 1366. \]

Kết luận

Xác suất để chọn được một số chia hết cho $3$ là \[ P = \frac{1366}{4096} = \boxed{\frac{683}{2048}}. \]

Ghi chú

Trong các đề thi, để kết quả là số nguyên (học sinh dễ điền vào tờ làm bài), người ta thường cho thêm: Xác suất để chọn được một số chia hết cho 3 bằng \( \frac{a}{b} \) (với \( a,b \in \mathbb{N}^* \), phân số tối giản). Tính \( T = b - a \) hoặc tính \( T' = a +b \).
Khi đó đáp số lần lượt là: \(T=1365\) và \(T'=2731\).

Nhận xét (trường hợp phân bố đều)

Phân bố đều

Trường hợp thay \( X \) bởi

\[ X' = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \]

Chia theo phần dư mod 3:

Dư 0: \( \{3,6,9\} \)
Dư 1: \( \{1,4,7\} \)
Dư 2: \( \{2,5,8\} \)

Mỗi nhóm đều có 3 chữ số: phân bố đều.

Mỗi chữ số chọn vào có xác suất:

\[ P(\text{dư }0) = P(\text{dư }1) = P(\text{dư }2) = \frac{1}{3} \]

Khi đó tổng của các chữ số cũng phân bố đều theo mod 3, nên:

\[ P(\text{tổng chia hết cho 3}) = \frac{1}{3} \]

Kết quả đẹp

\[ P = \frac{1}{3} \]

Mẹo tính nhanh

Nếu các chữ số chia đều vào 3 lớp dư thì xác suất chia hết cho 3 luôn bằng \( \frac{1}{3} \).