Tổ hợp nâng cao: Bài toán điền số vào bảng 3x3 lập thành cấp số nhân

Hướng dẫn giải chi tiết bài toán chọn 9 số từ tập {1, 2, ..., 18} điền vào bảng 3x3 sao cho hai đường chéo lập thành cấp số nhân. Đếm tổ hợp nâng cao.

Bài toán điền số vào bảng $3 \times 3$: Hai đường chéo lập thành cấp số nhân

Đây là một bài toán kết hợp giữa tính chất của cấp số nhân và các quy tắc đếm tổ hợp. Điểm mấu chốt nằm ở việc xác định giá trị tại ô trung tâm (giao điểm của hai đường chéo) và các cặp số có tích bằng bình phương số trung tâm đó.

1. Đề bài

[Đề thi thử tốt nghiệp 2026 Sở GD Quảng Ninh]

Cho tập hợp gồm 18 số tự nhiên $S = \{1; 2; 3; \dots; 18\}$. Chọn ngẫu nhiên 9 số tự nhiên từ tập $S$ và điền vào 9 ô vuông của một bảng $3 \times 3$. Gọi $T$ là số cách điền thỏa mãn hai đường chéo theo thứ tự lập thành cấp số nhân. Tính giá trị $\dfrac{T}{100}$.

2. Lời giải chi tiết

Gọi ô trung tâm là $a_{22}$. Để hai đường chéo (chung nhau ô trung tâm $a_{22}$) đều lập thành cấp số nhân thì $a_{22}^2$ phải biểu diễn được thành tích của hai cặp số khác nhau phân biệt trong tập $S$.

Gọi $m = a_{22}$. Các giá trị $m \in S$ thỏa mãn điều kiện tồn tại ít nhất 2 cặp số $(x, y)$ phân biệt sao cho $x \cdot y = m^2$ gồm:

• Trường hợp 1: $m = 4 \implies m^2 = 16$.
  Các cặp số $(x; y)$ từ tập $S$ có tích bằng 16 là: $(1; 16)$ và $(2; 8)$.
• Trường hợp 2: $m = 12 \implies m^2 = 144$.
  Các cặp số $(x; y)$ từ tập $S$ có tích bằng 144 là: $(8; 18)$ và $(9; 16)$.
• Trường hợp 3: $m = 6 \implies m^2 = 36$.
  Các cặp số $(x; y)$ từ tập $S$ có tích bằng 36 là: $(2; 18)$, $(3; 12)$, và $(4; 9)$.

Bước 1: Tính số cách xếp 5 vị trí trên hai đường chéo

Đối với mỗi giá trị $m$ trung tâm:

• Với $m=4$ hoặc $m=12$: Có 2 cặp số khả dĩ. Số cách chọn 2 cặp và xếp vào 2 đường chéo (có xét hoán vị) là: $2! \times 2! \times 2! = 8$ cách xếp.
• Với $m=6$: Có 3 cặp số khả dĩ. Ta chọn 2 trong 3 cặp có $C_3^2 = 3$ cách. Với mỗi bộ 2 cặp được chọn, ta có 8 cách xếp tương tự như trên.
  $\implies$ Số cách xếp cho $m=6$ là: $3 \times 8 = 24$ cách.

Tổng số cách sắp xếp 5 ô trên đường chéo là: $8 + 8 + 24 = 40$ cách.

Bước 2: Tính số cách điền 4 ô còn lại

Sau khi đã chọn 5 số cho các đường chéo, tập $S$ còn lại $18 - 5 = 13$ số.
Số cách chọn và xếp 4 số vào 4 ô trống còn lại là một chỉnh hợp: $A_{13}^4 = 17160$ cách.

Bước 3: Kết luận

Tổng số cách điền thỏa mãn là: \[ T = 40 \times 17160 = 686400 \]

Vậy giá trị cần tìm là: $\dfrac{T}{100} = \mathbf{6864}$.

Đáp số

$\boxed{\mathbf{6864}}$