Tính khoảng cách từ cột cờ đến ba con đường bao quanh khu dân cư. Lời giải sử dụng tính chất tiếp tuyến của đường tròn nội tiếp, hoặc ct: r=(a+b-c)/2.
Trong nhiều bài toán thực tế, ta cần tìm một vị trí cách đều nhiều đường thẳng. Bài toán sau mô tả việc đặt một cột cờ trong khu dân cư sao cho khoảng cách từ cột cờ đến ba con đường bao quanh là bằng nhau.
Bài toán dẫn tới một tính chất hình học thú vị liên quan đến tâm đường tròn nội tiếp của tam giác.
Đề bài
Một khu dân cư được xây dựng trên mảnh đất có dạng một tam giác với độ dài các cạnh
\[ AB=750\text{ m},\quad AC=1000\text{ m},\quad BC=1250\text{ m}. \]Ba cạnh của tam giác chính là ba con đường bao quanh khu dân cư.
Ở bên trong khu dân cư, người ta chọn một điểm \(O\) cách đều cả ba con đường để làm một cột cờ.
Hỏi cột cờ cách mỗi con đường một khoảng bao nhiêu mét?
Lời giải (theo chương trình lớp 9)
1. Nhận xét tam giác
Ta có
\[ 750^2+1000^2=1562500=1250^2 \]Suy ra tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\).
2. Xác định vị trí điểm \(O\)
Điểm \(O\) cách đều ba cạnh của tam giác nên \(O\) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\).
Gọi các tiếp điểm của đường tròn nội tiếp với các cạnh lần lượt là \(I,E,K\).
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt từ một điểm đến một đường tròn:
\[ AI=AK,\quad BI=BE,\quad CE=CK \]Đặt
\[ AI=AK=x \]Khi đó
\[ BE=BI=750-x \]và
\[ CE=CK=1000-x \]3. Lập phương trình độ dài cạnh
Vì
\[ BC=BE+CE \]nên
\[ 1250=(750-x)+(1000-x) \] \[ 1250=1750-2x \] \[ 2x=500 \] \[ x=250 \]4. Tính khoảng cách cần tìm
Trong tam giác vuông, khoảng cách từ tâm đường tròn nội tiếp đến mỗi cạnh chính là bán kính nội tiếp.
Do đó
\[ r=OK=AI=x=250 \]Kết luận
Khoảng cách từ cột cờ đến mỗi con đường là
\[ \boxed{250\text{ m}} \]Tổng quát
Với tam giác vuông có hai cạnh góc vuông \(a,b\) và cạnh huyền \(c\), bán kính đường tròn nội tiếp được tính bởi công thức
\[ r=\frac{a+b-c}{2} \]Áp dụng vào bài toán:
\[ r=\frac{750+1000-1250}{2}=250 \]Chú ý (cách giải lớp 10)
Nếu học sinh đã biết công thức
\[ S=pr \]trong đó
\(S\) là diện tích tam giác,
\(p\) là nửa chu vi,
\(r\) là bán kính nội tiếp.
Ta có
\[ S=\frac{1}{2}\cdot750\cdot1000=375000 \] \[ p=\frac{750+1000+1250}{2}=1500 \]Suy ra
\[ r=\frac{S}{p}=\frac{375000}{1500}=250 \]
