Hướng dẫn giải chi tiết bài toán diện tích Fractal (Thảm Sierpinski) từ đề thi thử Chuyên KHTN 2026. Áp dụng cấp số nhân lùi vô hạn để tính diện tích.
Ứng dụng Cấp số nhân tính tổng diện tích sau 3 lần chia
Các bài toán về hình học Fractal (hình tự đồng dạng) luôn là mảnh đất màu mỡ cho các câu hỏi vận dụng cao về Cấp số nhân và Giới hạn. Bài toán dưới đây trích từ đề thi thử tốt nghiệp THPT 2026 lần 2 của trường Chuyên KHTN Hà Nội là một ví dụ điển hình.
1. Đề bài
[Câu 12 - Đề thi thử (KSCL) chuyên KHTN lần 2 năm 2026]Một hình vuông có cạnh bằng $3$. Chia hình vuông đó thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Với mỗi hình vuông nhỏ chưa được tô màu, lại chia thành 9 hình vuông bằng nhau và tô màu hình vuông ở chính giữa. Cứ như thế, quá trình trên được lặp lại. Tính diện tích phần được tô màu sau 3 lần chia.
2. Lời giải chi tiết
Hình vuông ban đầu có diện tích là $S = 3^2 = 9$. Gọi $u_n$ là diện tích phần được tô màu mới ở lần chia thứ $n$.
Diện tích từng phần
- Lần chia 1: Hình vuông lớn được chia thành 9 hình vuông nhỏ diện tích bằng 1. Tô màu hình ở giữa.
$\implies u_1 = 1 \times 1 = 1$. - Lần chia 2: Còn lại 8 hình vuông chưa tô. Mỗi hình lại chia làm 9 và tô 1 hình ở giữa (diện tích $\frac{1}{9}$).
$\implies u_2 = 8 \times \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$. - Lần chia 3: Từ mỗi hình chưa tô ở lần 2 (có $8 \times 8 = 64$ hình), ta lại chia làm 9 và tô 1 hình ở giữa (diện tích $\frac{1}{81}$).
$\implies u_3 = 64 \times \frac{1}{81} = \left(\frac{8}{9}\right)^2$.
Tổng diện tích
Diện tích phần tô màu sau 3 lần chia là tổng của 3 số hạng đầu của một cấp số nhân có $u_1 = 1$ và $q = \frac{8}{9}$:
\[ S_3 = u_1 + u_2 + u_3 = 1 + \frac{8}{9} + \left(\frac{8}{9}\right)^2 \] \[ S_3 = \frac{1 \cdot [1 - (\frac{8}{9})^3]}{1 - \frac{8}{9}} = 9 - \frac{512}{81}= \frac{217}{81}\]Kết quả
\[S_3 = \frac{217}{81} \approx 2,679.\]
Mở rộng: Tổng diện tích sau vô hạn lần chia (Thảm Sierpinski)
Tổng vô hạn
Nếu quá trình này được lặp lại vô hạn lần (giả sử có thể chia mãi mãi), tổng diện tích phần tô màu $S_{\infty}$ chính là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với $|q| = |\frac{8}{9}| < 1$.
\[ S_{\infty} = \frac{u_1}{1 - q} = \frac{1}{1 - \frac{8}{9}} = 9. \]
Nhận xét
- Về diện tích: Tổng diện tích phần tô màu tiến dần đến 9 (bằng đúng diện tích hình vuông ban đầu). Điều này đồng nghĩa với việc diện tích phần không được tô màu sẽ tiến dần về 0.
- Về hình học Fractal: Hình ảnh tạo thành sau vô hạn bước được gọi là Thảm Sierpinski. Đây là một cấu trúc kỳ lạ: diện tích hữu hạn nhưng lại có chu vi vô hạn.
