Bài toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol đọc trực tiếp từ hình lưới ô vuông, có lời giải chi tiết, sở gd hà nội.
Trong nhiều bài toán ứng dụng tích phân, phương trình các đường cong có thể được xác định trực tiếp từ hình vẽ nhờ các điểm nằm trên lưới ô vuông. Sau khi tìm được phương trình các parabol, diện tích hình phẳng cần tính chỉ còn là tích phân của hiệu hai hàm số.
Đề bài
[Đề khảo sát chất lượng học sinh lớp 12 THPT Sở GD-ĐT Hà Nội, 3/2026]Trong lưới ô vuông như hình vẽ, phần gạch chéo được giới hạn bởi hai đường parabol. Mỗi ô vuông có cạnh \(1\) cm.
Tính diện tích phần gạch chéo. Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm.
Lời giải
1. Parabol dưới
Từ hình vẽ, parabol dưới có đỉnh tại \(O(0,0)\) và đi qua điểm \((2,2)\).
\[ y=ax^2 \] \[ 2=4a \Rightarrow a=\frac12 \] \[ y_1=\frac12x^2=f(x) \]2. Parabol trên
Quan sát lưới ta đọc được ba điểm của parabol trên
\[ (-4,6),\quad (-2,3),\quad (4,5) \]Đặt phương trình
\[ y=ax^2+bx+c \]Thay vào ta được hệ
\[ 16a-4b+c=6 \] \[ 4a-2b+c=3 \] \[ 16a+4b+c=5 \]Giải hệ thu được
\[ a=\frac{11}{48},\quad b=-\frac18,\quad c=\frac{11}{6} \]Do đó
\[ y_2=\frac{11}{48}x^2-\frac18x+\frac{11}{6} =g(x)\]
3. Tính diện tích
Diện tích miền gạch chéo (gồm ba phần):
\[S=\int_{-4}^{4} \Big| \frac{11}{48}x^2-\frac18x+\frac{11}{6}-\frac12x^2\Big|dx\approx9.76 \]Kết luận
